拉普拉斯算符英文解釋翻譯、拉普拉斯算符的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 Laplacian

分詞翻譯：

拉普拉的英語翻譯：

【計】 Laplace's law

斯的英語翻譯：

this
【化】 geepound

算符的英語翻譯：

【計】 OP; operator symbol
【化】 operator

專業解析

拉普拉斯算符（Laplace operator）是數學和物理學中的一個核心微分算子，在漢英詞典中通常定義為對函數進行梯度的散度運算所得的二階标量微分算子。其詳細解釋如下：

一、數學定義與表達式

笛卡爾坐标系中的形式
在三維直角坐标系中，拉普拉斯算符作用于标量函數 (phi(x,y,z)) 的表達式為：

$$

abla phi = frac{partial phi}{partial x} + frac{partial phi}{partial y} + frac{partial phi}{partial z} $$

其中 ( abla) 是算符的标準符號（也記作 (Delta)）。

一般坐标系下的推廣
在曲線坐标系中，拉普拉斯算符可通過度量張量表示為：

$$

abla phi = frac{1}{sqrt{|g|}} partial_i left( sqrt{|g|} g^{ij} partial_j phi right) $$

其中 (g) 為度規張量行列式，(g^{ij}) 為其逆變分量。

二、物理意義與幾何解釋

梯度與散度的複合運算
拉普拉斯算符的本質是梯度的散度：( abla phi = abla cdot ( abla phi))。這表示它衡量函數在某點鄰域内的平均變化率與其中心值之差，反映函數的"平滑度"或"波動性"。
二階導數的多維推廣
在物理中，它描述場量（如電勢、溫度）的空間二階變化率，例如：
- 電勢的拉普拉斯值正比于電荷密度（泊松方程）
- 熱傳導方程中表征溫度隨空間的擴散速率。

三、核心應用領域

經典物理方程
- 靜電學：( abla V = -rho / varepsilon_0)（泊松方程）
- 流體力學：納維-斯托克斯方程中的粘性項
- 量子力學：薛定谔方程的動能項 ( -frac{hbar}{2m} abla psi )
現代數學與工程
- 圖像處理：邊緣檢測中的拉普拉斯濾波器
- 微分幾何：黎曼流形上的拉普拉斯-貝爾特拉米算子
- 機器學習：圖神經網絡中的圖拉普拉斯矩陣。

四、漢英詞典釋義對照

中文術語	英文對應	學科領域
拉普拉斯算符	Laplace operator	數學/物理
調和算子	Harmonic operator	微分幾何
二階标量微分算符	Second-order scalar differential operator	向量分析

術語來源：定義參考《數學物理方法》（顧樵著，科學出版社）的微分算子章節；物理應用部分引自《Classical Electrodynamics》（J.D. Jackson, Wiley出版社）的場論推導。

網絡擴展解釋

拉普拉斯算符（Laplacian operator）是數學和物理學中的一個重要微分算子，通常用符號$ abla$或$Delta$表示。它是二階微分算符，用于描述标量場在空間中的二階變化率，廣泛應用于電磁學、流體力學、量子力學等領域。

1.數學定義

拉普拉斯算符本質上是梯度（$ abla$）的散度（$ abla cdot$）的組合，即： $$ Delta f = abla cdot ( abla f) $$ 對于三維笛卡爾坐标系中的标量函數$f(x,y,z)$，其表達式為： $$ Delta f = frac{partial f}{partial x} + frac{partial f}{partial y} + frac{partial f}{partial z} $$

2.不同坐标系中的表達式

極坐标系（二維）：
$$ Delta f = frac{1}{r} frac{partial}{partial r} left( r frac{partial f}{partial r} right) + frac{1}{r} frac{partial f}{partial theta} $$
球坐标系（三維）：
$$ Delta f = frac{1}{r} frac{partial}{partial r} left( r frac{partial f}{partial r} right) + frac{1}{r sin theta} frac{partial}{partial theta} left( sin theta frac{partial f}{partial theta} right) + frac{1}{r sin theta} frac{partial f}{partial phi} $$

3.物理意義

拉普拉斯算符描述标量場的“擴散”或“聚集”特性：

若$Delta f > 0$，表示該點周圍場的平均值高于該點，場在此處呈“發散”狀态。
若$Delta f < 0$，則表示場在此處呈“彙聚”狀态。

4.應用領域

電磁學：用于電勢的泊松方程$Delta V = -rho/epsilon_0$，描述電荷分布與電勢的關系。
熱傳導方程：$frac{partial u}{partial t} = alpha Delta u$，描述溫度場的擴散。
量子力學：薛定谔方程中包含拉普拉斯項，如$-frac{hbar}{2m}Delta psi$表示粒子動能。
流體力學：納維-斯托克斯方程中用于描述粘性力的作用。

5.數學性質

線性性：$Delta (af + bg) = aDelta f + bDelta g$（$a,b$為常數）。
各向同性：在笛卡爾坐标系下，拉普拉斯算符對空間方向無偏好。
本征函數：在特定邊界條件下，拉普拉斯算符的本征函數構成正交基底（如傅裡葉分析中的正弦/餘弦函數）。

擴展說明

拉普拉斯算符的高維推廣在機器學習（如圖神經網絡中的圖拉普拉斯矩陣）和圖像處理（邊緣檢測）中也有重要應用。其離散形式（如五點差分格式）是數值模拟中的常用工具。