三角矩阵英文解释翻译、三角矩阵的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 triangular matrix

********; trigonometry
【医】 delta; ********; triangulum; trigone; trigonum

matrix
【计】 matrix
【化】 matrix
【经】 matrices; matrix

三角矩阵（Triangular Matrix）是线性代数中的核心概念，指矩阵中主对角线以上或以下的所有元素均为零的方阵。根据零元素的位置，分为上三角矩阵和下三角矩阵两类：

上三角矩阵（Upper Triangular Matrix）
主对角线以下的元素全为零，即当 ( i > j ) 时，元素 ( a_{ij} = 0 )。例如：

$$ begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 0 & 4 & 5 0 & 0 & 6 end{bmatrix} $$
下三角矩阵（Lower Triangular Matrix）
主对角线以上的元素全为零，即当 ( i < j ) 时，元素 ( a_{ij} = 0 )。例如：

$$ begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 2 & 3 & 0 4 & 5 & 6 end{bmatrix} $$

行列式计算
三角矩阵的行列式等于主对角线元素的乘积：

( det(A) = a{11} times a{22} times cdots times a_{nn} ) 。
方程组求解的简化
在解线性方程组 ( Ax = b ) 时，若 ( A ) 为三角矩阵，可通过前向替代（下三角）或回代（上三角）快速求解，计算复杂度仅为 ( O(n) ) 。
特征值与对角元素
三角矩阵的特征值即为主对角线元素，这一性质简化了特征分析过程。

三角矩阵是线性代数中的一类特殊矩阵，主要分为上三角矩阵和下三角矩阵两种类型，其核心特征在于非零元素的分布位置。

上三角矩阵：所有主对角线（从左上到右下）以下的元素均为零。数学上，矩阵元素满足当行号 ( i > j ) 时，( a_{ij} = 0 )。例如一个3阶上三角矩阵为： $$ begin{pmatrix} a & b & c 0 & d & e 0 & 0 & f end{pmatrix} $$
下三角矩阵：所有主对角线以上的元素均为零，即当行号 ( i < j ) 时，( a_{ij} = 0 )。例如： $$ begin{pmatrix} a & 0 & 0 b & c & 0 d & e & f end{pmatrix} $$

行列式：三角矩阵的行列式等于主对角线元素的乘积，即
$$ det(A) = a{11} cdot a{22} cdot ldots cdot a_{nn} $$
特征值：三角矩阵的特征值恰好是主对角线上的元素。
运算性质：两个同类型三角矩阵的和、积仍为同类型三角矩阵。

严格三角矩阵：主对角线元素全为零的三角矩阵，例如严格上三角矩阵形如： $$ begin{pmatrix} 0 & a & b 0 & 0 & c 0 & 0 & 0 end{pmatrix} $$
单位三角矩阵：主对角线元素全为1的三角矩阵，常见于矩阵分解（如LU分解中的单位下三角矩阵）。

三角矩阵在解线性方程组时具有高效性。例如：

这类矩阵还广泛用于矩阵分解（如LU分解、Cholesky分解）和数值分析中，能显著降低计算复杂度。