三角矩陣英文解釋翻譯、三角矩陣的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 triangular matrix

********; trigonometry
【醫】 delta; ********; triangulum; trigone; trigonum

matrix
【計】 matrix
【化】 matrix
【經】 matrices; matrix

三角矩陣（Triangular Matrix）是線性代數中的核心概念，指矩陣中主對角線以上或以下的所有元素均為零的方陣。根據零元素的位置，分為上三角矩陣和下三角矩陣兩類：

上三角矩陣（Upper Triangular Matrix）
主對角線以下的元素全為零，即當 ( i > j ) 時，元素 ( a_{ij} = 0 )。例如：

$$ begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 0 & 4 & 5 0 & 0 & 6 end{bmatrix} $$
下三角矩陣（Lower Triangular Matrix）
主對角線以上的元素全為零，即當 ( i < j ) 時，元素 ( a_{ij} = 0 )。例如：

$$ begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 2 & 3 & 0 4 & 5 & 6 end{bmatrix} $$

行列式計算
三角矩陣的行列式等于主對角線元素的乘積：

( det(A) = a{11} times a{22} times cdots times a_{nn} ) 。
方程組求解的簡化
在解線性方程組 ( Ax = b ) 時，若 ( A ) 為三角矩陣，可通過前向替代（下三角）或回代（上三角）快速求解，計算複雜度僅為 ( O(n) ) 。
特征值與對角元素
三角矩陣的特征值即為主對角線元素，這一性質簡化了特征分析過程。

三角矩陣是線性代數中的一類特殊矩陣，主要分為上三角矩陣和下三角矩陣兩種類型，其核心特征在于非零元素的分布位置。

上三角矩陣：所有主對角線（從左上到右下）以下的元素均為零。數學上，矩陣元素滿足當行號 ( i > j ) 時，( a_{ij} = 0 )。例如一個3階上三角矩陣為： $$ begin{pmatrix} a & b & c 0 & d & e 0 & 0 & f end{pmatrix} $$
下三角矩陣：所有主對角線以上的元素均為零，即當行號 ( i < j ) 時，( a_{ij} = 0 )。例如： $$ begin{pmatrix} a & 0 & 0 b & c & 0 d & e & f end{pmatrix} $$

行列式：三角矩陣的行列式等于主對角線元素的乘積，即
$$ det(A) = a{11} cdot a{22} cdot ldots cdot a_{nn} $$
特征值：三角矩陣的特征值恰好是主對角線上的元素。
運算性質：兩個同類型三角矩陣的和、積仍為同類型三角矩陣。

嚴格三角矩陣：主對角線元素全為零的三角矩陣，例如嚴格上三角矩陣形如： $$ begin{pmatrix} 0 & a & b 0 & 0 & c 0 & 0 & 0 end{pmatrix} $$
單位三角矩陣：主對角線元素全為1的三角矩陣，常見于矩陣分解（如LU分解中的單位下三角矩陣）。

三角矩陣在解線性方程組時具有高效性。例如：

這類矩陣還廣泛用于矩陣分解（如LU分解、Cholesky分解）和數值分析中，能顯著降低計算複雜度。