双线性型英文解释翻译、双线性型的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 bilinear form

分词翻译：

双线的英语翻译：

crewel
【电】 twin line; twin wire

型的英语翻译：

model; mould; type
【医】 form; habit; habitus; pattern; series; Ty.; type
【经】 type

专业解析

双线性型（Bilinear Form）是线性代数中的核心概念，指在向量空间上定义的关于两个变量的线性函数。其数学定义为：设$V$为域$F$上的向量空间，若映射$B: V times V to F$满足对任意$x,y,z in V$和$a in F$均有

$$B(ax+y,z) = aB(x,z) + B(y,z)$$

$$B(x,ay+z) = aB(x,y) + B(x,z)$$

则该映射称为双线性型。其英文术语"bilinear form"中的"bi"强调对两个变量的独立线性性。

主要性质与分类

对称性与反对称性
当$B(x,y)=B(y,x)$时称为对称双线性型，常见于内积空间；若$B(x,y)=-B(y,x)$则为反对称双线性型，如辛几何中的结构。
矩阵表示
对有限维空间，选定基后双线性型可表示为矩阵$A$，使得$B(x,y)=x^TAy$。该矩阵的秩决定其非退化性。
二次型关联
对称双线性型与二次型$Q(x)=B(x,x)$存在一一对应关系，这是二次曲面分类的理论基础。

应用领域

微分几何：黎曼度量本质是对称双线性型在切空间上的光滑赋值
量子力学：态空间上的期望值计算依赖厄米双线性型
编码理论：自对偶码的构建需要特殊双线性结构

权威参考文献包括Springer出版的《Linear Algebra Done Right》对非退化性的证明，以及剑桥大学《Algebraic Geometry》教材中关于二次型的几何解释。具体定理推导可参见美国数学学会（AMS）的专题论文集。

网络扩展解释

双线性型是线性代数中的重要概念，指定义在两个向量空间上的满足双线性条件的函数。以下是详细解释：

定义

双线性型是域$mathbb{F}$上两个向量空间$V$和$W$的笛卡尔积到$mathbb{F}$的映射$f: V times W to mathbb{F}$，满足对每个变量都保持线性： $$ begin{align} f(amathbf{u}_1 + bmathbf{u}_2, mathbf{v}) &= a f(mathbf{u}_1, mathbf{v}) + b f(mathbf{u}_2, mathbf{v}) f(mathbf{u}, cmathbf{v}_1 + dmathbf{v}_2) &= c f(mathbf{u}, mathbf{v}_1) + d f(mathbf{u}, mathbf{v}_2) end{align} $$ 其中$a,b,c,d in mathbb{F}$，$mathbf{u},mathbf{v}$为向量（）。

核心性质

矩阵表示
当$V=W$且为有限维空间时，选定基后双线性型可表示为矩阵形式：$f(mathbf{x},mathbf{y}) = mathbf{x}^T A mathbf{y}$，其中$A$为度量矩阵（）。
非退化性
若度量矩阵$A$可逆，则称为非退化双线性型，否则为退化型（）。
对称与反对称

对称型：$f(mathbf{x},mathbf{y}) = f(mathbf{y},mathbf{x})$，对应对称矩阵（如内积）。
反对称型：$f(mathbf{x},mathbf{y}) = -f(mathbf{y},mathbf{x})$，对应反对称矩阵（）。

典型示例

内积：最常见的对称双线性型，额外满足正定性（）。
二次型关联：通过双线性型可构造二次型$Q(mathbf{x}) = f(mathbf{x},mathbf{x})$，用于几何和优化问题（）。

应用领域

广泛用于微分几何（张量分析）、量子力学（厄米特型）和工程优化（二次规划）等领域。其非退化性在判断空间结构（如正交补）时尤为关键（）。

如需更深入的矩阵运算或定理证明细节，可参考线性代数教材中关于双线性型与二次型的章节。

双线性型英文解释翻译、双线性型的近义词、反义词、例句

英语翻译：

分词翻译：

双线的英语翻译：

型的英语翻译：

专业解析

主要性质与分类

应用领域

网络扩展解释

定义

核心性质

典型示例

应用领域

分类

别人正在浏览...