雙線性型英文解釋翻譯、雙線性型的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 bilinear form

分詞翻譯：

雙線的英語翻譯：

crewel
【電】 twin line; twin wire

型的英語翻譯：

model; mould; type
【醫】 form; habit; habitus; pattern; series; Ty.; type
【經】 type

專業解析

雙線性型（Bilinear Form）是線性代數中的核心概念，指在向量空間上定義的關于兩個變量的線性函數。其數學定義為：設$V$為域$F$上的向量空間，若映射$B: V times V to F$滿足對任意$x,y,z in V$和$a in F$均有

$$B(ax+y,z) = aB(x,z) + B(y,z)$$

$$B(x,ay+z) = aB(x,y) + B(x,z)$$

則該映射稱為雙線性型。其英文術語"bilinear form"中的"bi"強調對兩個變量的獨立線性性。

主要性質與分類

1. 對稱性與反對稱性

   當$B(x,y)=B(y,x)$時稱為對稱雙線性型，常見于内積空間；若$B(x,y)=-B(y,x)$則為反對稱雙線性型，如辛幾何中的結構。

2. 矩陣表示

   對有限維空間，選定基後雙線性型可表示為矩陣$A$，使得$B(x,y)=x^TAy$。該矩陣的秩決定其非退化性。

3. 二次型關聯

   對稱雙線性型與二次型$Q(x)=B(x,x)$存在一一對應關系，這是二次曲面分類的理論基礎。

應用領域

• 微分幾何：黎曼度量本質是對稱雙線性型在切空間上的光滑賦值
• 量子力學：态空間上的期望值計算依賴厄米雙線性型
• 編碼理論：自對偶碼的構建需要特殊雙線性結構

權威參考文獻包括Springer出版的《Linear Algebra Done Right》對非退化性的證明，以及劍橋大學《Algebraic Geometry》教材中關于二次型的幾何解釋。具體定理推導可參見美國數學學會（AMS）的專題論文集。

網絡擴展解釋

雙線性型是線性代數中的重要概念，指定義在兩個向量空間上的滿足雙線性條件的函數。以下是詳細解釋：

定義

雙線性型是域$mathbb{F}$上兩個向量空間$V$和$W$的笛卡爾積到$mathbb{F}$的映射$f: V times W to mathbb{F}$，滿足對每個變量都保持線性： $$ begin{align} f(amathbf{u}_1 + bmathbf{u}_2, mathbf{v}) &= a f(mathbf{u}_1, mathbf{v}) + b f(mathbf{u}_2, mathbf{v}) f(mathbf{u}, cmathbf{v}_1 + dmathbf{v}_2) &= c f(mathbf{u}, mathbf{v}_1) + d f(mathbf{u}, mathbf{v}_2) end{align} $$ 其中$a,b,c,d in mathbb{F}$，$mathbf{u},mathbf{v}$為向量（）。

核心性質

1. 矩陣表示
   當$V=W$且為有限維空間時，選定基後雙線性型可表示為矩陣形式：$f(mathbf{x},mathbf{y}) = mathbf{x}^T A mathbf{y}$，其中$A$為度量矩陣（）。

2. 非退化性
   若度量矩陣$A$可逆，則稱為非退化雙線性型，否則為退化型（）。

3. 對稱與反對稱

• 對稱型：$f(mathbf{x},mathbf{y}) = f(mathbf{y},mathbf{x})$，對應對稱矩陣（如内積）。
• 反對稱型：$f(mathbf{x},mathbf{y}) = -f(mathbf{y},mathbf{x})$，對應反對稱矩陣（）。

典型示例

• 内積：最常見的對稱雙線性型，額外滿足正定性（）。
• 二次型關聯：通過雙線性型可構造二次型$Q(mathbf{x}) = f(mathbf{x},mathbf{x})$，用于幾何和優化問題（）。

應用領域

廣泛用于微分幾何（張量分析）、量子力學（厄米特型）和工程優化（二次規劃）等領域。其非退化性在判斷空間結構（如正交補）時尤為關鍵（）。

如需更深入的矩陣運算或定理證明細節，可參考線性代數教材中關于雙線性型與二次型的章節。

分類

ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ

别人正在浏覽...

【别人正在浏覽】