高斯求積公式英文解釋翻譯、高斯求積公式的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 Gauss quadrature formula

分詞翻譯：

高斯的英語翻譯：

gauss
【計】 Gaussian
【醫】 gauss

求積公式的英語翻譯：

【計】 quadrature formula

專業解析

高斯求積公式（Gaussian Quadrature Formula）是一種在數值積分中用于計算定積分近似值的高精度方法。其核心思想是通過選擇最優的積分節點（即求積點）和對應的權重，使得該公式能夠對盡可能高次數的多項式實現精确積分，從而顯著提高數值積分的效率和精度。

以下是其關鍵要點：

基本定義與形式：
- 中文：高斯求積公式用于近似計算積分 (int{a}^{b} f(x) , dx)。其一般形式為： [ int{a}^{b} f(x) , dx approx sum_{i=1}^{n} w_i f(x_i) ] 其中，(n) 是選定的節點數（也稱為積分點數），(x_i) 是積分區間 ([a, b]) 内特定的點（稱為高斯點或求積節點），(w_i) 是對應的權重（稱為求積系數）。
- 英文：The Gaussian Quadrature Formula approximates the definite integral (int{a}^{b} f(x) , dx). Its standard form is: [ int{a}^{b} f(x) , dx approx sum_{i=1}^{n} w_i f(x_i) ] where (n) is the number of quadrature points (nodes), (x_i) are the specific points within ([a, b]) (Gaussian points or quadrature nodes), and (w_i) are the corresponding weights (quadrature coefficients).
核心特征與優勢：
- 最優節點與權重：高斯求積公式的關鍵在于其節點 (x_i) 和權重 (w_i) 不是隨意選取的，而是根據積分區間和權重函數（通常為1，即Legendre情形）精确選擇的。這些節點通常是某類正交多項式（如Legendre多項式對應标準區間[-1, 1]）的根。
- 最高代數精度：這是高斯求積最突出的優點。一個使用 (n) 個點的高斯公式具有(2n-1) 次代數精度。這意味着它能精确積分所有次數小于或等于 (2n-1) 的多項式。例如，2點高斯公式（n=2）能精确積分所有不超過3次的多項式。相較于Newton-Cotes公式（如梯形法則、Simpson法則），在相同節點數下，高斯公式能達到更高的精度。
- 權重函數：标準高斯求積處理的是積分 (int{a}^{b} f(x) , dx)（即權重函數 (rho(x) = 1)）。對于帶有不同權重函數 (rho(x)) 的積分 (int{a}^{b} rho(x) f(x) , dx)（如高斯-埃爾米特積分處理 (e^{-x})，高斯-拉蓋爾積分處理 (e^{-x})），需要選用與該權重函數對應的正交多項式（如Hermite多項式、Laguerre多項式）的根作為節點，并計算相應的權重。
應用與重要性：
- 高斯求積公式因其高精度和效率，被廣泛應用于科學計算、工程分析（如有限元法中的數值積分）、金融數學、物理模拟等領域，特别是在被積函數光滑但難以解析積分或計算成本高昂時。
- 它常作為更複雜積分方法（如自適應積分、多重積分中的嵌套規則）的基礎構件。

權威性參考來源：高斯求積公式是數值分析領域的标準内容，權威性論述可見于經典教材和學術資源：

Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (William H. Press, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling, Brian P. Flannery) - 該書被廣泛認為是科學計算領域的經典參考書，其各版本均詳細介紹了高斯求積及其變種。
Atkinson, K. E. (1989). An Introduction to Numerical Analysis (2nd ed.). John Wiley & Sons. - 這是數值分析領域的權威教材，對高斯求積的理論基礎（正交多項式、代數精度）有嚴謹推導。
Abramowitz, M., & Stegun, I. A. (Eds.). (1964). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. National Bureau of Standards. - 這部著名的數學手冊提供了各種高斯求積（Legendre, Hermite, Laguerre等）的節點和權重表。
Golub, G. H., & Welsch, J. H. (1969). Calculation of Gauss Quadrature Rules. Mathematics of Computation, 23(106), 221–230. - 這篇經典論文提出了計算高斯點和高斯權重的有效算法。

網絡擴展解釋

高斯求積公式（Gaussian Quadrature）是一種高效的數值積分方法，用于近似計算定積分。其核心思想是通過選擇最優的積分節點（即插值點）和對應的權重，使得代數精度達到最高。以下是詳細解釋：

1.基本公式

對于積分 $int_a^b f(x)w(x)dx$（$w(x)$ 是權函數），高斯求積公式表示為： $$ inta^b f(x)w(x)dx approx sum{i=1}^n w_i f(x_i) $$ 其中：

$x_i$ 是積分節點（選為特定正交多項式的根）
$w_i$ 是對應的權重
$n$ 是節點數，公式的代數精度為 $2n-1$（即能精确積分所有不超過 $2n-1$ 次的多項式）。

2.關鍵特點

最優節點選擇：節點不是等距的，而是基于正交多項式（如Legendre多項式、Laguerre多項式等）的根。
高精度：相比梯形法則（精度1）、辛普森法則（精度3），高斯求積的精度更高（如2節點精度為3，3節點精度為5）。
適用性廣：通過調整權函數和積分區間，可處理不同類型的積分（如無窮區間、帶權積分等）。

3.常見類型

根據積分區間和權函數的不同，高斯求積分為多種形式：

高斯-勒讓德（Gauss-Legendre）：區間 $[-1,1]$，權函數 $w(x)=1$。
高斯-拉蓋爾（Gauss-Laguerre）：區間 $[0,+infty)$，權函數 $w(x)=e^{-x}$（適用于積分含指數衰減的函數）。
高斯-埃爾米特（Gauss-Hermite）：區間 $(-infty,+infty)$，權函數 $w(x)=e^{-x}$（適用于高斯型積分）。

4.節點與權重的計算

節點和權重由正交多項式的性質決定：

例如，高斯-勒讓德公式中，節點是Legendre多項式 $P_n(x)$ 的根，權重為： $$ w_i = frac{2}{(1-x_i)[P_n'(x_i)]} $$

5.應用場景

複雜函數積分：當被積函數難以解析積分時（如高次多項式、振蕩函數）。
有限元分析：用于計算單元剛度矩陣中的積分。
概率與統計：計算期望值或正态分布相關的積分。

示例

用2點高斯-勒讓德公式計算 $int_{-1} cos(x)dx$：

節點 $x_1=-frac{1}{sqrt{3}}$，$x_2=frac{1}{sqrt{3}}$，權重均為1。
近似結果為 $cos(-frac{1}{sqrt{3}}) + cos(frac{1}{sqrt{3}}) approx 1.6758$，與精确解 $2sin(1) approx 1.6829$ 接近。

高斯求積通過優化節點和權重，以最少的計算量達到高精度，是科學計算中不可或缺的工具。