高斯求积公式英文解释翻译、高斯求积公式的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 Gauss quadrature formula

分词翻译：

高斯的英语翻译：

gauss
【计】 Gaussian
【医】 gauss

求积公式的英语翻译：

【计】 quadrature formula

专业解析

高斯求积公式（Gaussian Quadrature Formula）是一种在数值积分中用于计算定积分近似值的高精度方法。其核心思想是通过选择最优的积分节点（即求积点）和对应的权重，使得该公式能够对尽可能高次数的多项式实现精确积分，从而显著提高数值积分的效率和精度。

以下是其关键要点：

基本定义与形式：
- 中文：高斯求积公式用于近似计算积分 (int{a}^{b} f(x) , dx)。其一般形式为： [ int{a}^{b} f(x) , dx approx sum_{i=1}^{n} w_i f(x_i) ] 其中，(n) 是选定的节点数（也称为积分点数），(x_i) 是积分区间 ([a, b]) 内特定的点（称为高斯点或求积节点），(w_i) 是对应的权重（称为求积系数）。
- 英文：The Gaussian Quadrature Formula approximates the definite integral (int{a}^{b} f(x) , dx). Its standard form is: [ int{a}^{b} f(x) , dx approx sum_{i=1}^{n} w_i f(x_i) ] where (n) is the number of quadrature points (nodes), (x_i) are the specific points within ([a, b]) (Gaussian points or quadrature nodes), and (w_i) are the corresponding weights (quadrature coefficients).
核心特征与优势：
- 最优节点与权重：高斯求积公式的关键在于其节点 (x_i) 和权重 (w_i) 不是随意选取的，而是根据积分区间和权重函数（通常为1，即Legendre情形）精确选择的。这些节点通常是某类正交多项式（如Legendre多项式对应标准区间[-1, 1]）的根。
- 最高代数精度：这是高斯求积最突出的优点。一个使用 (n) 个点的高斯公式具有(2n-1) 次代数精度。这意味着它能精确积分所有次数小于或等于 (2n-1) 的多项式。例如，2点高斯公式（n=2）能精确积分所有不超过3次的多项式。相较于Newton-Cotes公式（如梯形法则、Simpson法则），在相同节点数下，高斯公式能达到更高的精度。
- 权重函数：标准高斯求积处理的是积分 (int{a}^{b} f(x) , dx)（即权重函数 (rho(x) = 1)）。对于带有不同权重函数 (rho(x)) 的积分 (int{a}^{b} rho(x) f(x) , dx)（如高斯-埃尔米特积分处理 (e^{-x})，高斯-拉盖尔积分处理 (e^{-x})），需要选用与该权重函数对应的正交多项式（如Hermite多项式、Laguerre多项式）的根作为节点，并计算相应的权重。
应用与重要性：
- 高斯求积公式因其高精度和效率，被广泛应用于科学计算、工程分析（如有限元法中的数值积分）、金融数学、物理模拟等领域，特别是在被积函数光滑但难以解析积分或计算成本高昂时。
- 它常作为更复杂积分方法（如自适应积分、多重积分中的嵌套规则）的基础构件。

权威性参考来源：高斯求积公式是数值分析领域的标准内容，权威性论述可见于经典教材和学术资源：

Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (William H. Press, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling, Brian P. Flannery) - 该书被广泛认为是科学计算领域的经典参考书，其各版本均详细介绍了高斯求积及其变种。
Atkinson, K. E. (1989). An Introduction to Numerical Analysis (2nd ed.). John Wiley & Sons. - 这是数值分析领域的权威教材，对高斯求积的理论基础（正交多项式、代数精度）有严谨推导。
Abramowitz, M., & Stegun, I. A. (Eds.). (1964). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. National Bureau of Standards. - 这部著名的数学手册提供了各种高斯求积（Legendre, Hermite, Laguerre等）的节点和权重表。
Golub, G. H., & Welsch, J. H. (1969). Calculation of Gauss Quadrature Rules. Mathematics of Computation, 23(106), 221–230. - 这篇经典论文提出了计算高斯点和高斯权重的有效算法。

网络扩展解释

高斯求积公式（Gaussian Quadrature）是一种高效的数值积分方法，用于近似计算定积分。其核心思想是通过选择最优的积分节点（即插值点）和对应的权重，使得代数精度达到最高。以下是详细解释：

1.基本公式

对于积分 $int_a^b f(x)w(x)dx$（$w(x)$ 是权函数），高斯求积公式表示为： $$ inta^b f(x)w(x)dx approx sum{i=1}^n w_i f(x_i) $$ 其中：

$x_i$ 是积分节点（选为特定正交多项式的根）
$w_i$ 是对应的权重
$n$ 是节点数，公式的代数精度为 $2n-1$（即能精确积分所有不超过 $2n-1$ 次的多项式）。

2.关键特点

最优节点选择：节点不是等距的，而是基于正交多项式（如Legendre多项式、Laguerre多项式等）的根。
高精度：相比梯形法则（精度1）、辛普森法则（精度3），高斯求积的精度更高（如2节点精度为3，3节点精度为5）。
适用性广：通过调整权函数和积分区间，可处理不同类型的积分（如无穷区间、带权积分等）。

3.常见类型

根据积分区间和权函数的不同，高斯求积分为多种形式：

高斯-勒让德（Gauss-Legendre）：区间 $[-1,1]$，权函数 $w(x)=1$。
高斯-拉盖尔（Gauss-Laguerre）：区间 $[0,+infty)$，权函数 $w(x)=e^{-x}$（适用于积分含指数衰减的函数）。
高斯-埃尔米特（Gauss-Hermite）：区间 $(-infty,+infty)$，权函数 $w(x)=e^{-x}$（适用于高斯型积分）。

4.节点与权重的计算

节点和权重由正交多项式的性质决定：

例如，高斯-勒让德公式中，节点是Legendre多项式 $P_n(x)$ 的根，权重为： $$ w_i = frac{2}{(1-x_i)[P_n'(x_i)]} $$

5.应用场景

复杂函数积分：当被积函数难以解析积分时（如高次多项式、振荡函数）。
有限元分析：用于计算单元刚度矩阵中的积分。
概率与统计：计算期望值或正态分布相关的积分。

示例

用2点高斯-勒让德公式计算 $int_{-1} cos(x)dx$：

节点 $x_1=-frac{1}{sqrt{3}}$，$x_2=frac{1}{sqrt{3}}$，权重均为1。
近似结果为 $cos(-frac{1}{sqrt{3}}) + cos(frac{1}{sqrt{3}}) approx 1.6758$，与精确解 $2sin(1) approx 1.6829$ 接近。

高斯求积通过优化节点和权重，以最少的计算量达到高精度，是科学计算中不可或缺的工具。