複向量空間英文解釋翻譯、複向量空間的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 complex vector space

分詞翻譯：

複的英語翻譯：

again; answer; compound; duplicate; resume; turn over
【醫】 amb-; ambi-; ambo-; re-

向量空間的英語翻譯：

【計】 vector space

專業解析

複向量空間（Complex Vector Space）是線性代數與泛函分析中的核心概念，指定義在複數域$mathbb{C}$上的向量空間。其數學結構滿足以下公理：

封閉性：對任意向量$mathbf{u},mathbfmathbf{v} in V$和标量$alpha in mathbb{C}$，有$mathbf{u}+mathbf{v} in V$且$alphamathbf{u} in V$。
線性運算規則：包括加法交換律、結合律、分配律等，例如$alpha(mathbf{u}+mathbf{v}) = alphamathbf{u} + alphamathbf{v}$。

與實向量空間的區别在于标量域的擴展。複向量空間允許标量為複數，這導緻其性質顯著不同：

譜定理：複空間中的線性算子總存在特征值，而實空間不一定（如旋轉矩陣無實特征值）。
内積結構：複空間需滿足共轭對稱性$langle mathbf{u},mathbf{v} rangle = overline{langle mathbf{v},mathbf{u} rangle}$（參考量子力學中的希爾伯特空間定義。

典型應用包括：

量子力學：波函數所在的無限維複向量空間（如$L(mathbb{R})$）。
信號處理：複數傅裡葉變換在頻域分析中的作用。

權威參考文獻：

《Linear Algebra Done Right》（Sheldon Axler）第2章對複向量空間公理有系統闡述。
MathWorld的“Complex Vector Space”詞條（鍊接：Wolfram MathWorld）定義其代數性質。
《Quantum Mechanics: Concepts and Applications》（Nouredine Zettili）第4章讨論複空間在物理模型中的應用。

網絡擴展解釋

複向量空間是線性代數中的一個基礎概念，指以複數域$mathbb{C}$為标量域的向量空間。以下是詳細解釋：

1.定義

複向量空間由以下要素構成：

向量集合：包含元素（向量）的集合$V$，例如$mathbb{C}^n$中的向量。
加法運算**：任意兩個向量$mathbf{u}, mathbf{v} in V$可相加，結果仍屬于$V$。
标量乘法：複數$c in mathbb{C}$與向量$mathbf{v} in V$相乘後仍屬于$V$。這些運算需滿足向量空間公理（如結合律、分配律等）。

2.關鍵性質

維數：複向量空間的維數是其基中向量的個數。例如，$mathbb{C}^n$的标準基由$n$個向量組成，因此是$n$維複向量空間。
與實向量空間的對比：若将$mathbb{C}^n$視為實向量空間，其維數為$2n$（因每個複數可分解為實部和虛部）。
特征值存在性：複向量空間上的線性算子總有特征值（代數基本定理保證複數域上多項式有根）。

3.示例

一維空間：複數域$mathbb{C}$本身是一維複向量空間，基可以是${1}$。
高維空間：$mathbb{C}^n$中的向量形如$(z_1, z_2, dots, z_n)$，其中$z_i in mathbb{C}$，标量乘法為$c(z_1, dots, z_n) = (cz_1, dots, cz_n)$。

4.内積結構

複向量空間常配備厄米特内積（Hermitian inner product）： $$ langle mathbf{u}, mathbf{v} rangle = sum_{i=1}^n u_i overline{v_i} $$ 其中$overline{v_i}$是$v_i$的複共轭，滿足共轭對稱性$langle mathbf{u}, mathbf{v} rangle = overline{langle mathbf{v}, mathbf{u} rangle}$。

5.應用領域

量子力學：量子态表示為複向量空間中的向量，複數的相位描述量子疊加。
信號處理：傅裡葉變換等理論依賴複數表示頻域信號。
複幾何：複流形的研究以複向量空間為局部模型。

複向量空間通過引入複數标量，擴展了實向量空間的理論和應用範圍，尤其在涉及相位、旋轉和頻域分析的問題中不可或缺。其性質（如特征值的存在性）也簡化了許多數學分析。