複函數英文解釋翻譯、複函數的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【電】 complex function

分詞翻譯：

複的英語翻譯：

again; answer; compound; duplicate; resume; turn over
【醫】 amb-; ambi-; ambo-; re-

函數的英語翻譯：

function
【計】 F; FUNC; function

專業解析

在數學分析中，複函數（英文：Complex Function）是指定義域和值域均在複數域（ℂ）上的函數。其核心特征在于自變量和因變量均涉及複數（形如 ( z = x + iy )，其中 ( x, y ) 為實數，( i ) 為虛數單位且滿足 ( i = -1 )）。複函數是複分析（Complex Analysis）研究的主要對象，其性質與實函數有顯著區别，并展現出獨特的數學結構和廣泛的應用價值。

以下從漢英詞典角度對其關鍵含義進行詳細解釋：

定義與基本形式 (Definition and Basic Form)
- 中文：複函數指将複數映射到複數的規則或映射關系。
- 英文：A complex function is a rule or mapping that assigns a complex number to each complex number in its domain.
- 數學表達：通常表示為 ( w = f(z) )，其中 ( z ) 是定義域（Domain）中的複數自變量，( w ) 是值域（Range）中的複數因變量。
核心特征 (Core Characteristics)
- 複數運算基礎 (Based on Complex Arithmetic)：複函數的運算遵循複數的加、減、乘、除以及乘方、開方等規則。
- 實部與虛部 (Real and Imaginary Parts)：任何一個複函數 ( f(z) = f(x + iy) ) 都可以分解為兩個二元實值函數：
  - 實部函數：( u(x, y) = operatorname{Re} f(z) )
  - 虛部函數：( v(x, y) = operatorname{Im} f(z) )
  - 因此，複函數可寫為 ( f(z) = u(x, y) + i v(x, y) )。
- 可微性與解析性 (Differentiability and Analyticity)：這是複函數區别于實函數的最重要特性之一。
  - 複可微 (Complex Differentiable)：若極限 ( lim_{Delta z to 0} frac{f(z + Delta z) - f(z)}{Delta z} ) 存在且與 ( Delta z ) 趨近于 0 的路徑無關，則稱 ( f ) 在點 ( z ) 複可微（或全純/Holomorphic）。
  - 解析函數 (Analytic Function)：在某個開集上處處複可微的函數稱為解析函數。解析函數具有無窮可微性、幂級數展開性（在收斂圓盤内）等強大性質。
- 柯西-黎曼方程 (Cauchy-Riemann Equations)：複函數 ( f(z) = u + iv ) 在一點複可微的必要且充分條件是其實部 ( u ) 和虛部 ( v ) 在該點滿足柯西-黎曼方程： $$ frac{partial u}{partial x} = frac{partial v}{partial y}, quad frac{partial u}{partial y} = -frac{partial v}{partial x} $$ 該方程是連接複函數可微性與其實部、虛部偏導數關系的橋梁。
重要性與應用 (Importance and Applications)
- 理論數學 (Theoretical Mathematics)：複分析是數學的核心分支，解析函數的理論深刻而優美，在數論、微分方程、拓撲學等領域有基礎性應用。
- 物理學 (Physics)：廣泛應用于流體力學（勢流理論）、電磁學、量子力學、熱傳導、信號處理（傅裡葉變換常在複域進行）等。
- 工程學 (Engineering)：在控制理論（系統穩定性分析）、信號處理、圖像處理、電氣工程（交流電路分析）等方面不可或缺。
- 其他領域 (Other Fields)：在經濟學、地圖學（共形映射）等領域也有應用。

權威參考來源 (Authoritative References):

《數學是什麼》（What is Mathematics?） - Richard Courant & Herbert Robbins (經典數學著作，包含對複數的清晰介紹和複函數概念的鋪墊)
《複分析》（Complex Analysis） - Lars V. Ahlfors (國際公認的複分析标準教材，對複函數的定義、性質和應用有系統嚴謹的闡述)

網絡擴展解釋

複函數（Complex Function）是指定義域和值域均在複數域上的函數，其輸入和輸出均為複數。具體來說，若函數 ( f(z) ) 滿足 ( z in mathbb{C} ) 且 ( f(z) in mathbb{C} )，則稱其為複函數。以下是詳細解釋：

1.基本定義

複函數的一般形式可表示為： $$ f(z) = u(x,y) + i v(x,y) $$ 其中 ( z = x + iy )（( x, y in mathbb{R} )，( i ) 為虛數單位），( u(x,y) ) 和 ( v(x,y) ) 分别為複函數的實部和虛部函數。例如：

( f(z) = z = (x - y) + i(2xy) )
( f(z) = e^z = e^x cos y + i e^x sin y )

2.與實函數的區别

可導性：複函數可導的條件比實函數嚴格，需滿足柯西-黎曼方程： $$ frac{partial u}{partial x} = frac{partial v}{partial y}, quad frac{partial u}{partial y} = -frac{partial v}{partial x} $$ 滿足此條件的複函數稱為解析函數（或全純函數）。
幾何特性：複函數可能具有保角性（局部保持角度不變），而實函數無此性質。
奇點：複函數可能存在極點、本性奇點等複雜行為（如 ( f(z) = frac{1}{z} ) 在 ( z=0 ) 處有極點）。

3.常見類型

初等複函數：多項式函數、指數函數（( e^z )）、三角函數（如 ( sin z )）、對數函數（需定義分支切割）。
特殊函數：伽馬函數、黎曼ζ函數等，在複平面上有更豐富的性質。

4.應用領域

物理學：量子力學中的波函數、電磁場分析。
工程學：信號處理、控制理論中的頻域分析。
數學：解析數論、微分方程解析解研究。

5.可視化

由于複數本身是二維的，複函數的圖像需在四維空間中呈現。常用方法包括：

用顔色映射表示相位和模長。
分别繪制實部 ( u(x,y) ) 和虛部 ( v(x,y) ) 的曲面圖。

複函數擴展了實函數的研究範圍，其獨特的解析性和奇點特性在理論與應用層面均有重要意義。