复函数英文解释翻译、复函数的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【电】 complex function

分词翻译：

复的英语翻译：

again; answer; compound; duplicate; resume; turn over
【医】 amb-; ambi-; ambo-; re-

函数的英语翻译：

function
【计】 F; FUNC; function

专业解析

在数学分析中，复函数（英文：Complex Function）是指定义域和值域均在复数域（ℂ）上的函数。其核心特征在于自变量和因变量均涉及复数（形如 ( z = x + iy )，其中 ( x, y ) 为实数，( i ) 为虚数单位且满足 ( i = -1 )）。复函数是复分析（Complex Analysis）研究的主要对象，其性质与实函数有显著区别，并展现出独特的数学结构和广泛的应用价值。

以下从汉英词典角度对其关键含义进行详细解释：

定义与基本形式 (Definition and Basic Form)
- 中文：复函数指将复数映射到复数的规则或映射关系。
- 英文：A complex function is a rule or mapping that assigns a complex number to each complex number in its domain.
- 数学表达：通常表示为 ( w = f(z) )，其中 ( z ) 是定义域（Domain）中的复数自变量，( w ) 是值域（Range）中的复数因变量。
核心特征 (Core Characteristics)
- 复数运算基础 (Based on Complex Arithmetic)：复函数的运算遵循复数的加、减、乘、除以及乘方、开方等规则。
- 实部与虚部 (Real and Imaginary Parts)：任何一个复函数 ( f(z) = f(x + iy) ) 都可以分解为两个二元实值函数：
  - 实部函数：( u(x, y) = operatorname{Re} f(z) )
  - 虚部函数：( v(x, y) = operatorname{Im} f(z) )
  - 因此，复函数可写为 ( f(z) = u(x, y) + i v(x, y) )。
- 可微性与解析性 (Differentiability and Analyticity)：这是复函数区别于实函数的最重要特性之一。
  - 复可微 (Complex Differentiable)：若极限 ( lim_{Delta z to 0} frac{f(z + Delta z) - f(z)}{Delta z} ) 存在且与 ( Delta z ) 趋近于 0 的路径无关，则称 ( f ) 在点 ( z ) 复可微（或全纯/Holomorphic）。
  - 解析函数 (Analytic Function)：在某个开集上处处复可微的函数称为解析函数。解析函数具有无穷可微性、幂级数展开性（在收敛圆盘内）等强大性质。
- 柯西-黎曼方程 (Cauchy-Riemann Equations)：复函数 ( f(z) = u + iv ) 在一点复可微的必要且充分条件是其实部 ( u ) 和虚部 ( v ) 在该点满足柯西-黎曼方程： $$ frac{partial u}{partial x} = frac{partial v}{partial y}, quad frac{partial u}{partial y} = -frac{partial v}{partial x} $$ 该方程是连接复函数可微性与其实部、虚部偏导数关系的桥梁。
重要性与应用 (Importance and Applications)
- 理论数学 (Theoretical Mathematics)：复分析是数学的核心分支，解析函数的理论深刻而优美，在数论、微分方程、拓扑学等领域有基础性应用。
- 物理学 (Physics)：广泛应用于流体力学（势流理论）、电磁学、量子力学、热传导、信号处理（傅里叶变换常在复域进行）等。
- 工程学 (Engineering)：在控制理论（系统稳定性分析）、信号处理、图像处理、电气工程（交流电路分析）等方面不可或缺。
- 其他领域 (Other Fields)：在经济学、地图学（共形映射）等领域也有应用。

权威参考来源 (Authoritative References):

《数学是什么》（What is Mathematics?） - Richard Courant & Herbert Robbins (经典数学著作，包含对复数的清晰介绍和复函数概念的铺垫)
《复分析》（Complex Analysis） - Lars V. Ahlfors (国际公认的复分析标准教材，对复函数的定义、性质和应用有系统严谨的阐述)

网络扩展解释

复函数（Complex Function）是指定义域和值域均在复数域上的函数，其输入和输出均为复数。具体来说，若函数 ( f(z) ) 满足 ( z in mathbb{C} ) 且 ( f(z) in mathbb{C} )，则称其为复函数。以下是详细解释：

1.基本定义

复函数的一般形式可表示为： $$ f(z) = u(x,y) + i v(x,y) $$ 其中 ( z = x + iy )（( x, y in mathbb{R} )，( i ) 为虚数单位），( u(x,y) ) 和 ( v(x,y) ) 分别为复函数的实部和虚部函数。例如：

( f(z) = z = (x - y) + i(2xy) )
( f(z) = e^z = e^x cos y + i e^x sin y )

2.与实函数的区别

可导性：复函数可导的条件比实函数严格，需满足柯西-黎曼方程： $$ frac{partial u}{partial x} = frac{partial v}{partial y}, quad frac{partial u}{partial y} = -frac{partial v}{partial x} $$ 满足此条件的复函数称为解析函数（或全纯函数）。
几何特性：复函数可能具有保角性（局部保持角度不变），而实函数无此性质。
奇点：复函数可能存在极点、本性奇点等复杂行为（如 ( f(z) = frac{1}{z} ) 在 ( z=0 ) 处有极点）。

3.常见类型

初等复函数：多项式函数、指数函数（( e^z )）、三角函数（如 ( sin z )）、对数函数（需定义分支切割）。
特殊函数：伽马函数、黎曼ζ函数等，在复平面上有更丰富的性质。

4.应用领域

物理学：量子力学中的波函数、电磁场分析。
工程学：信号处理、控制理论中的频域分析。
数学：解析数论、微分方程解析解研究。

5.可视化

由于复数本身是二维的，复函数的图像需在四维空间中呈现。常用方法包括：

用颜色映射表示相位和模长。
分别绘制实部 ( u(x,y) ) 和虚部 ( v(x,y) ) 的曲面图。

复函数扩展了实函数的研究范围，其独特的解析性和奇点特性在理论与应用层面均有重要意义。