費馬小定理英文解釋翻譯、費馬小定理的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 Fermat's little theorem

分詞翻譯：

費的英語翻譯：

charge; cost; expenses; fee; spend
【醫】 fee
【經】 fee

馬的英語翻譯：

equine; gee; horse; horseflesh; neddy; steed
【醫】 hippo-

小的英語翻譯：

for a while; little; minor; petty; small; young
【計】 mic-
【醫】 micr-; micro-; mikro-; nano-

定理的英語翻譯：

theorem
【化】 theorem
【醫】 theorem

專業解析

費馬小定理（Fermat's Little Theorem）是數論中的基礎定理之一，由法國數學家皮埃爾·德·費馬于17世紀提出。其核心描述為：

若 ( p ) 為質數，且整數 ( a ) 與 ( p ) 互質（即 ( gcd(a, p) = 1 )），則 ( a^{p-1} equiv 1 pmod{p} )。

漢英術語對照與解釋

費馬小定理 (Fermat's Little Theorem)
- 英文定義：For a prime number ( p ) and an integer ( a ) coprime to ( p ), ( a^{p-1} ) leaves a remainder of 1 when divided by ( p ).
- 示例：取 ( p = 5 ), ( a = 2 )（互質），則 ( 2^{4} = 16 equiv 1 pmod{5} )。
模運算 (Modular Arithmetic)
- 定理基于模運算系統，即 ( a equiv b pmod{p} ) 表示 ( a ) 和 ( b ) 除以 ( p ) 後餘數相同。
應用場景
- 密碼學：RSA加密算法依賴此定理驗證密鑰有效性。
- 質數檢測：費馬素性測試利用其性質（但存在僞質數局限）。

曆史背景與延伸

費馬在1640年首次提出該定理（未給出證明），歐拉于1736年完成首篇嚴謹證明并推廣至歐拉定理。其指數形式可進一步簡化為：

[ a^p equiv a pmod{p} ]

（當 ( p ) 為質數且 ( a ) 為任意整數時成立）。

權威參考來源

《數論導引》（G. H. Hardy）：經典教材詳述定理證明與應用（劍橋大學出版社）。
斯坦福大學密碼學講義：闡釋其在公鑰加密中的作用（鍊接）。
Wolfram MathWorld：數學百科全書的定理條目（鍊接）。

注：引用來源需确保鍊接有效，若無法訪問可參考紙質著作或學術數據庫（如JSTOR）。

網絡擴展解釋

費馬小定理是數論中的基礎定理之一，由皮埃爾·德·費馬在17世紀提出。它揭示了素數模數下整數幂的周期性規律，具體内容如下：

定理表述

若( p )是一個素數，且整數( a )滿足( a )與( p )互質（即( gcd(a, p) = 1 )），則： $$ a^{p-1} equiv 1 pmod{p} $$ 進一步可推出： $$ a^p equiv a pmod{p} $$

證明思路

構造集合：考慮集合( S = {1, 2, 3, ldots, p-1} )，其元素均與( p )互質。
乘法同餘性質：将每個元素乘以( a )并對( p )取模，得到新集合( a cdot S )。由于( a )與( p )互質，新集合仍是( S )的一個排列，元素兩兩不同餘。
乘積等價性：原集合的乘積( (p-1)! )與新集合的乘積( a^{p-1} cdot (p-1)! )在模( p )下同餘。
約簡結果：兩邊約去( (p-1)! )（因( p )為素數，( (p-1)! otequiv 0 pmod{p} )），即得( a^{p-1} equiv 1 pmod{p} )。

應用場景

素數判定：若存在( a )使( a^{n-1} otequiv 1 pmod{n} )，則( n )必為合數（但逆命題不成立，存在僞素數如341）。
密碼學：RSA加密算法依賴該定理構造密鑰，例如計算模幂時的快速幂優化。
組合數學：解決模運算下的除法問題，如計算逆元（( a^{-1} equiv a^{p-2} pmod{p} )）。

示例驗證

例1：取( p = 5 )，( a = 2 )，則( 2^{4} = 16 equiv 1 pmod{5} )。
例2：取( p = 7 )，( a = 3 )，則( 3^{6} = 729 equiv 1 pmod{7} )。

擴展與限制

歐拉定理推廣：當模數( n )為任意正整數時，歐拉定理給出( a^{phi(n)} equiv 1 pmod{n} )，其中( phi(n) )為歐拉函數（( n )為素數時退化為費馬小定理）。
局限性：定理僅對素數成立，且無法直接用于确定性素數檢測（需結合其他方法）。

費馬小定理通過簡潔的形式揭示了素數模數下的深刻規律，成為現代數論和密碼學的重要基石。