费马小定理英文解释翻译、费马小定理的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 Fermat's little theorem

分词翻译：

费的英语翻译：

charge; cost; expenses; fee; spend
【医】 fee
【经】 fee

马的英语翻译：

equine; gee; horse; horseflesh; neddy; steed
【医】 hippo-

小的英语翻译：

for a while; little; minor; petty; small; young
【计】 mic-
【医】 micr-; micro-; mikro-; nano-

定理的英语翻译：

theorem
【化】 theorem
【医】 theorem

专业解析

费马小定理（Fermat's Little Theorem）是数论中的基础定理之一，由法国数学家皮埃尔·德·费马于17世纪提出。其核心描述为：

若 ( p ) 为质数，且整数 ( a ) 与 ( p ) 互质（即 ( gcd(a, p) = 1 )），则 ( a^{p-1} equiv 1 pmod{p} )。

汉英术语对照与解释

费马小定理 (Fermat's Little Theorem)
- 英文定义：For a prime number ( p ) and an integer ( a ) coprime to ( p ), ( a^{p-1} ) leaves a remainder of 1 when divided by ( p ).
- 示例：取 ( p = 5 ), ( a = 2 )（互质），则 ( 2^{4} = 16 equiv 1 pmod{5} )。
模运算 (Modular Arithmetic)
- 定理基于模运算系统，即 ( a equiv b pmod{p} ) 表示 ( a ) 和 ( b ) 除以 ( p ) 后余数相同。
应用场景
- 密码学：RSA加密算法依赖此定理验证密钥有效性。
- 质数检测：费马素性测试利用其性质（但存在伪质数局限）。

历史背景与延伸

费马在1640年首次提出该定理（未给出证明），欧拉于1736年完成首篇严谨证明并推广至欧拉定理。其指数形式可进一步简化为：

[ a^p equiv a pmod{p} ]

（当 ( p ) 为质数且 ( a ) 为任意整数时成立）。

权威参考来源

《数论导引》（G. H. Hardy）：经典教材详述定理证明与应用（剑桥大学出版社）。
斯坦福大学密码学讲义：阐释其在公钥加密中的作用（链接）。
Wolfram MathWorld：数学百科全书的定理条目（链接）。

注：引用来源需确保链接有效，若无法访问可参考纸质著作或学术数据库（如JSTOR）。

网络扩展解释

费马小定理是数论中的基础定理之一，由皮埃尔·德·费马在17世纪提出。它揭示了素数模数下整数幂的周期性规律，具体内容如下：

定理表述

若( p )是一个素数，且整数( a )满足( a )与( p )互质（即( gcd(a, p) = 1 )），则： $$ a^{p-1} equiv 1 pmod{p} $$ 进一步可推出： $$ a^p equiv a pmod{p} $$

证明思路

构造集合：考虑集合( S = {1, 2, 3, ldots, p-1} )，其元素均与( p )互质。
乘法同余性质：将每个元素乘以( a )并对( p )取模，得到新集合( a cdot S )。由于( a )与( p )互质，新集合仍是( S )的一个排列，元素两两不同余。
乘积等价性：原集合的乘积( (p-1)! )与新集合的乘积( a^{p-1} cdot (p-1)! )在模( p )下同余。
约简结果：两边约去( (p-1)! )（因( p )为素数，( (p-1)! otequiv 0 pmod{p} )），即得( a^{p-1} equiv 1 pmod{p} )。

应用场景

素数判定：若存在( a )使( a^{n-1} otequiv 1 pmod{n} )，则( n )必为合数（但逆命题不成立，存在伪素数如341）。
密码学：RSA加密算法依赖该定理构造密钥，例如计算模幂时的快速幂优化。
组合数学：解决模运算下的除法问题，如计算逆元（( a^{-1} equiv a^{p-2} pmod{p} )）。

示例验证

例1：取( p = 5 )，( a = 2 )，则( 2^{4} = 16 equiv 1 pmod{5} )。
例2：取( p = 7 )，( a = 3 )，则( 3^{6} = 729 equiv 1 pmod{7} )。

扩展与限制

欧拉定理推广：当模数( n )为任意正整数时，欧拉定理给出( a^{phi(n)} equiv 1 pmod{n} )，其中( phi(n) )为欧拉函数（( n )为素数时退化为费马小定理）。
局限性：定理仅对素数成立，且无法直接用于确定性素数检测（需结合其他方法）。

费马小定理通过简洁的形式揭示了素数模数下的深刻规律，成为现代数论和密码学的重要基石。