反複除法英文解釋翻譯、反複除法的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【電】 iteration division

分詞翻譯：

反複的英語翻譯：

repeat; rote
【醫】 reduplication
【經】 repetitions

除法的英語翻譯：

division
【機】 division

專業解析

反複除法（fǎn fù chú fǎ）是數學中求兩個整數最大公約數（GCD）的經典算法，其核心是通過重複進行除法運算，将較大數除以較小數，再用餘數替換較大數，直至餘數為零。此時除數即為最大公約數。該算法在漢語中亦稱輾轉相除法，英文對應術語為Euclidean Algorithm。

一、漢語釋義

反複除法指通過多次除法疊代求解最大公約數的過程。例如，求 ( a ) 和 ( b )（( a > b )）的最大公約數：

計算 ( a div b ) 得餘數 ( r_1 )；
以 ( b ) 為被除數、( r_1 ) 為除數，計算新餘數 ( r_2 )；
重複直至餘數為零，則末次除數即為結果。

二、英文釋義（Euclidean Algorithm）

The Euclidean Algorithm is defined as:

"A method for finding the greatest common divisor (GCD) of two integers by repeatedly dividing the larger number by the smaller one and replacing the larger number with the remainder until the remainder is zero. The last non-zero remainder is the GCD."

三、算法步驟（以求 GCD(48, 18) 為例）

( 48 div 18 = 2 ) 餘 ( 12 ) → 替換為 GCD(18, 12)
( 18 div 12 = 1 ) 餘 ( 6 ) → 替換為 GCD(12, 6)
( 12 div 6 = 2 ) 餘 ( 0 ) →GCD = 6

四、數學表達

設兩整數 ( a, b )（( a > b > 0 ))，反複除法可表示為：

$$ begin{align}

a &= bq_1 + r_1

b &= r_1q_2 + r2

&vdots

r{n-2} &= r_{n-1}q_n + r_n quad (text{當 } r_n = 0 text{ 時終止})

end{align}

最終最大公約數為 ( gcd(a, b) = r_{n-1} )。

五、應用場景

分數化簡：如将 ( frac{48}{18} ) 化為最簡形式 ( frac{8}{3} )；
密碼學：RSA算法中用于生成密鑰；
數論證明：如貝祖等式（Bézout's Identity）的推導。

參考來源

華羅庚，《數論導引》，科學出版社（中文經典數論著作）
Euclid, Elements, Book VII, Proposition 2（算法原始描述）
Knuth, D. E., The Art of Computer Programming, Vol. 1（現代算法實現分析）

網絡擴展解釋

關于“反複除法”這一表述，目前數學領域并沒有标準的術語定義。根據常見的數學概念推測，你可能指的是以下兩種可能性：

1.輾轉相除法（歐幾裡得算法）

用于求兩個整數的最大公約數（GCD），其核心是反複用除法取餘數的過程：

步驟：
1. 用較大數除以較小數，得到餘數；
2. 用較小數替換原來的較大數，餘數替換原來的較小數；
3. 重複上述步驟，直到餘數為0，此時除數即為最大公約數。
示例：求 $gcd(48, 18)$
$48 div 18 = 2$ 餘 $12$ →
$18 div 12 = 1$ 餘 $6$ →
$12 div 6 = 2$ 餘 $0$ →
最大公約數為 $6$。

2.長除法中的重複步驟

在手工計算除法時，通過反複減法和移位完成運算：

過程：逐位确定商，将餘數乘以基數後繼續下一位的除法，直到餘數為0或達到所需精度。

其他可能

若指分解質因數時的反複試除，例如将 $60$ 分解為 $2 times 2 times 3 times 5$，需用質數反複試除直至商為1。

建議

若具體場景不同，請補充說明或确認術語的正确性（如是否為“輾轉相除法”或“長除法”）。