反常積分英文解釋翻譯、反常積分的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 improper integral

分詞翻譯：

反常的英語翻譯：

abnormality; deregulation
【化】 abnormality
【醫】 abnormality; abnormity; acatastasia; anomalo-; anomaly

積分的英語翻譯：

integral
【計】 integral
【化】 integral
【醫】 integration

專業解析

反常積分（Improper Integral）是數學分析中的重要概念，指積分區間無限或被積函數在積分區間内無界的積分。以下是漢英對照的詳細解釋：

一、核心定義

中文定義
反常積分是對普通定積分的推廣，當積分區間為無窮區間（如 ([a, +infty))），或被積函數在有限區間内存在瑕點（如無界間斷點）時，需通過極限方式定義積分值。

分類：
- 無窮積分：積分區間無限（例：(int_a^{+infty} f(x)dx)）。
- 瑕積分（無界函數積分）：被積函數在區間内某點無界（例：(int_0 frac{1}{sqrt{x}}dx)）。
英文對應術語
- Improper Integral：廣義術語，涵蓋兩類情形。
- Infinite Integral：特指積分區間無限。
- Integral with Singularities：特指被積函數存在瑕點。

二、收斂性判定

反常積分需通過極限判斷是否收斂：

無窮積分：
[ inta^{+infty} f(x)dx = lim{b to +infty} int_a^b f(x)dx. ]

若極限存在則收斂，否則發散。
瑕積分（瑕點為 (c in [a, b])）：
[ inta^b f(x)dx = lim{t to c^-} inta^t f(x)dx + lim{s to c^+} int_s^b f(x)dx. ]

需左右極限均存在。

常用判别法：比較判别法（Comparison Test）、極限判别法（Limit Test）、柯西主值（Cauchy Principal Value）。

三、術語漢英對照表

中文術語	英文術語	示例
反常積分	Improper Integral	(int_1^{+infty} frac{1}{x}dx)
無窮積分	Infinite Integral	(int_{-infty}^0 e^xdx)
瑕積分	Improper Integral of Unbounded Function	(int_0 frac{1}{x}dx)
收斂/發散	Convergence/Divergence	(int_1^{+infty} frac{1}{x}dx) 發散
柯西主值	Cauchy Principal Value	PV (int_{-1} frac{1}{x}dx = 0)

四、權威參考來源

《數學分析教程》（常庚哲、史濟懷）：定義與收斂性理論（高等教育出版社）。
Wolfram MathWorld - Improper Integral：英文術語與數學推導 mathworld.wolfram.com/ImproperIntegral.html。
《實分析與複分析》（Rudin）：嚴格數學處理（Principles of Mathematical Analysis, Chapter 6）。

五、應用場景

反常積分廣泛用于概率論（如正态分布密度函數積分）、物理學（電磁場理論）及工程學（信號處理）。例如：

概率密度函數歸一化：(int_{-infty}^{+infty} e^{-x}dx = sqrt{pi})。

注：中文文獻常将"Improper Integral"譯為"反常積分"或"廣義積分"，後者更強調其推廣性質。

網絡擴展解釋

反常積分（廣義積分）是定積分的推廣形式，用于處理以下兩種情況：積分區間無限，或被積函數在積分區間内存在“瑕點”（無界點）。其核心思想是通過極限将不可直接計算的積分轉化為極限問題，判斷積分是否收斂。

一、反常積分的分類

第一類反常積分（無窮區間積分）
積分區間為無限區間，例如：
- $int_{a}^{+infty} f(x)dx$
- $int_{-infty}^{b} f(x)dx$
- $int_{-infty}^{+infty} f(x)dx$
定義：通過極限轉化為定積分。例如：
$$int{a}^{+infty} f(x)dx = lim{t to +infty} int_{a}^{t} f(x)dx.$$
若極限存在，則稱積分收斂，否則發散。
第二類反常積分（無界函數積分）
被積函數在積分區間某點附近無界（瑕點），例如：
- $int_{a}^{b} frac{1}{(x-c)^p}dx$（當$x=c$時函數無界）
定義：若$f(x)$在$x=b$處無界，則：
$$int{a}^{b} f(x)dx = lim{t to b^-} int_{a}^{t} f(x)dx.$$
同樣通過極限判斷收斂性。

二、收斂性判别方法

比較判别法
- 若$0 leq f(x) leq g(x)$，且$int{a}^{+infty} g(x)dx$收斂，則$int{a}^{+infty} f(x)dx$也收斂。
- 例如：$int_{1}^{+infty} frac{1}{x}dx$收斂，因為$frac{1}{x} leq frac{1}{x}$（但需注意比較對象的選擇）。
極限判别法
- 對$int_{a}^{+infty} frac{1}{x^p}dx$，當$p>1$時收斂，$p leq 1$時發散。
- 對$int_{0}^{1} frac{1}{x^p}dx$（瑕點在0），當$p<1$時收斂，$p geq 1$時發散。

三、典型例子

收斂的例子
- $int_{1}^{+infty} frac{1}{x}dx = 1$（第一類反常積分）。
- $int_{0}^{1} frac{1}{sqrt{x}}dx = 2$（第二類反常積分，瑕點在0）。
發散的例子
- $int_{1}^{+infty} frac{1}{x}dx$（發散到無窮大）。
- $int_{0}^{1} frac{1}{x}dx$（瑕點在0，發散）。

四、關鍵點總結

反常積分通過極限轉化為定積分，需分析極限是否存在。
兩類反常積分的處理方法類似，但需注意瑕點的位置。
收斂性判别時，優先使用比較法或p-積分結論。

如果需要具體計算步驟或更多例子，可參考微積分教材中的廣義積分章節。