反常积分英文解释翻译、反常积分的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 improper integral

分词翻译：

反常的英语翻译：

abnormality; deregulation
【化】 abnormality
【医】 abnormality; abnormity; acatastasia; anomalo-; anomaly

积分的英语翻译：

integral
【计】 integral
【化】 integral
【医】 integration

专业解析

反常积分（Improper Integral）是数学分析中的重要概念，指积分区间无限或被积函数在积分区间内无界的积分。以下是汉英对照的详细解释：

一、核心定义

中文定义
反常积分是对普通定积分的推广，当积分区间为无穷区间（如 ([a, +infty))），或被积函数在有限区间内存在瑕点（如无界间断点）时，需通过极限方式定义积分值。

分类：
- 无穷积分：积分区间无限（例：(int_a^{+infty} f(x)dx)）。
- 瑕积分（无界函数积分）：被积函数在区间内某点无界（例：(int_0 frac{1}{sqrt{x}}dx)）。
英文对应术语
- Improper Integral：广义术语，涵盖两类情形。
- Infinite Integral：特指积分区间无限。
- Integral with Singularities：特指被积函数存在瑕点。

二、收敛性判定

反常积分需通过极限判断是否收敛：

无穷积分：
[ inta^{+infty} f(x)dx = lim{b to +infty} int_a^b f(x)dx. ]

若极限存在则收敛，否则发散。
瑕积分（瑕点为 (c in [a, b])）：
[ inta^b f(x)dx = lim{t to c^-} inta^t f(x)dx + lim{s to c^+} int_s^b f(x)dx. ]

需左右极限均存在。

常用判别法：比较判别法（Comparison Test）、极限判别法（Limit Test）、柯西主值（Cauchy Principal Value）。

三、术语汉英对照表

中文术语	英文术语	示例
反常积分	Improper Integral	(int_1^{+infty} frac{1}{x}dx)
无穷积分	Infinite Integral	(int_{-infty}^0 e^xdx)
瑕积分	Improper Integral of Unbounded Function	(int_0 frac{1}{x}dx)
收敛/发散	Convergence/Divergence	(int_1^{+infty} frac{1}{x}dx) 发散
柯西主值	Cauchy Principal Value	PV (int_{-1} frac{1}{x}dx = 0)

四、权威参考来源

《数学分析教程》（常庚哲、史济怀）：定义与收敛性理论（高等教育出版社）。
Wolfram MathWorld - Improper Integral：英文术语与数学推导 mathworld.wolfram.com/ImproperIntegral.html。
《实分析与复分析》（Rudin）：严格数学处理（Principles of Mathematical Analysis, Chapter 6）。

五、应用场景

反常积分广泛用于概率论（如正态分布密度函数积分）、物理学（电磁场理论）及工程学（信号处理）。例如：

概率密度函数归一化：(int_{-infty}^{+infty} e^{-x}dx = sqrt{pi})。

注：中文文献常将"Improper Integral"译为"反常积分"或"广义积分"，后者更强调其推广性质。

网络扩展解释

反常积分（广义积分）是定积分的推广形式，用于处理以下两种情况：积分区间无限，或被积函数在积分区间内存在“瑕点”（无界点）。其核心思想是通过极限将不可直接计算的积分转化为极限问题，判断积分是否收敛。

一、反常积分的分类

第一类反常积分（无穷区间积分）
积分区间为无限区间，例如：
- $int_{a}^{+infty} f(x)dx$
- $int_{-infty}^{b} f(x)dx$
- $int_{-infty}^{+infty} f(x)dx$
定义：通过极限转化为定积分。例如：
$$int{a}^{+infty} f(x)dx = lim{t to +infty} int_{a}^{t} f(x)dx.$$
若极限存在，则称积分收敛，否则发散。
第二类反常积分（无界函数积分）
被积函数在积分区间某点附近无界（瑕点），例如：
- $int_{a}^{b} frac{1}{(x-c)^p}dx$（当$x=c$时函数无界）
定义：若$f(x)$在$x=b$处无界，则：
$$int{a}^{b} f(x)dx = lim{t to b^-} int_{a}^{t} f(x)dx.$$
同样通过极限判断收敛性。

二、收敛性判别方法

比较判别法
- 若$0 leq f(x) leq g(x)$，且$int{a}^{+infty} g(x)dx$收敛，则$int{a}^{+infty} f(x)dx$也收敛。
- 例如：$int_{1}^{+infty} frac{1}{x}dx$收敛，因为$frac{1}{x} leq frac{1}{x}$（但需注意比较对象的选择）。
极限判别法
- 对$int_{a}^{+infty} frac{1}{x^p}dx$，当$p>1$时收敛，$p leq 1$时发散。
- 对$int_{0}^{1} frac{1}{x^p}dx$（瑕点在0），当$p<1$时收敛，$p geq 1$时发散。

三、典型例子

收敛的例子
- $int_{1}^{+infty} frac{1}{x}dx = 1$（第一类反常积分）。
- $int_{0}^{1} frac{1}{sqrt{x}}dx = 2$（第二类反常积分，瑕点在0）。
发散的例子
- $int_{1}^{+infty} frac{1}{x}dx$（发散到无穷大）。
- $int_{0}^{1} frac{1}{x}dx$（瑕点在0，发散）。

四、关键点总结

反常积分通过极限转化为定积分，需分析极限是否存在。
两类反常积分的处理方法类似，但需注意瑕点的位置。
收敛性判别时，优先使用比较法或p-积分结论。

如果需要具体计算步骤或更多例子，可参考微积分教材中的广义积分章节。