二項式定理英文解釋翻譯、二項式定理的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 binomial theorem

分詞翻譯：

二的英語翻譯：

twin; two
【計】 binary-coded decimal; binary-coded decimal character code
binary-to-decimal conversion; binary-to-hexadecimal conversion
【醫】 bi-; bis-; di-; duo-

項的英語翻譯：

nape; nucha; sum; term
【計】 item
【醫】 nape; nape of neck; nucha; scruff of neck; trachel-; trachelo-
【經】 item

式的英語翻譯：

ceremony; formula; model; pattern; ritual; style; type
【化】 expression
【醫】 F.; feature; formula; Ty.; type

定理的英語翻譯：

theorem
【化】 theorem
【醫】 theorem

專業解析

二項式定理 (Binomial Theorem) 的漢英詞典釋義與詳解

一、術語定義 (Terminology Definition)

中文 (Chinese): 二項式定理 (Èr xiàng shì dìng lǐ)
英文 (English): Binomial Theorem
釋義 (Definition): 二項式定理是代數學中的一個基礎定理，它描述了二項式（即形如 ((a + b)) 的表達式）的幂（正整數指數 (n)）展開為多項式之規則。該定理給出了展開式中每一項系數的明确計算公式。

二、數學表達式 (Mathematical Expression) 二項式定理的标準形式為： $$ (a + b)^n = sum_{k=0}^{n} binom{n}{k} a^{n-k} b^k $$ 其中：

(n) 是一個非負整數（幂次）。
(a) 和 (b) 是任意實數或複數（二項式的底數）。
(sum_{k=0}^{n}) 表示對 (k) 從 0 到 (n) 求和。
(binom{n}{k}) 是二項式系數，讀作 “n 選 k”，其值等于 (frac{n!}{k!(n-k)!})。它精确地給出了展開式中項 (a^{n-k}b^k) 的系數。

三、核心要素詳解 (Key Components Explained)

二項式 (Binomial): 指包含兩項的代數和，即 ((a + b))。
幂 (Power/Exponentiation): 指二項式被自身乘 (n) 次，寫作 ((a + b)^n)。
展開式 (Expansion): 将 ((a + b)^n) 寫成多項式形式的結果。例如： begin{align} (a + b)^0 &= 1 (a + b) &= a + b (a + b) &= a + 2ab + b (a + b) &= a + 3ab + 3ab + b end{align}
二項式系數 (Binomial Coefficient) (binom{n}{k}): 這是定理的核心。它不僅是展開式中各項的系數，在組合數學中也有重要意義，代表從 (n) 個不同元素中選取 (k) 個元素的組合數。其值可通過楊輝三角（帕斯卡三角）便捷查找或通過公式 (frac{n!}{k!(n-k)!}) 計算。
項的通式 (General Term): 展開式中的每一項都具有 (binom{n}{k} a^{n-k} b^k) 的形式。當 (k) 從 0 取到 (n) 時，就得到了所有項。例如，在 ((a + b)) 中，含 (ab) 的項對應 (k=2)，系數為 (binom{4}{2} = 6)，即 (6ab)。

四、應用與意義 (Applications and Significance) 二項式定理是代數學、概率論、統計學和組合數學等多個領域的基石工具。其應用包括：

多項式展開：快速計算二項式的高次幂。
近似計算：當 (b) 遠小于 (a) 時，可用前幾項近似 ((a + b)^n)。
概率計算：在二項分布的概率計算中，系數 (binom{n}{k}) 直接對應特定事件發生的組合方式數目。
組合恒等式：用于證明許多組合恒等式（如令 (a = b = 1) 可得 (sum_{k=0}^{n} binom{n}{k} = 2^n)）。

來源參考 (Sources):

《數學百科全書》(Encyclopedia of Mathematics) - Binomial Theorem 條目概述。
《牛津數學詞典》(Oxford Concise Dictionary of Mathematics) - Binomial Theorem 定義與公式。
組合數學基礎教材 (如 Brualdi, R.A. Introductory Combinatorics) - 二項式系數與組合解釋。

網絡擴展解釋

二項式定理是代數學中的重要定理，用于展開形如 ((a + b)^n) 的二項式的幂次表達式。其核心公式為：

$$ (a + b)^n = sum_{k=0}^{n} binom{n}{k} a^{n-k} b^{k} $$

核心要點解析：

公式結構
展開式中，每一項的形式為 (binom{n}{k} a^{n-k} b^k)，其中：
- (binom{n}{k}) 是組合數（二項式系數），表示從 (n) 個元素中選 (k) 個的方式數，計算公式為 (frac{n!}{k!(n-k)!})。
- (a^{n-k} b^k) 表示變量的幂次，指數之和恒為 (n)。
組合數的意義
組合數 (binom{n}{k}) 對應帕斯卡三角形（楊輝三角）的第 (n) 行第 (k) 列，例如：
- ((a + b) = a + 3ab + 3ab + b)，系數為 (1, 3, 3, 1)，對應組合數 (binom{3}{0}) 到 (binom{3}{3})。
應用場景
- 概率論：計算二項分布的概率。
- 近似計算：當 (n) 為分數或負數時，可展開為無窮級數（需收斂）。
- 多項式展開：簡化複雜代數表達式。
擴展形式
定理可推廣到多元多項式，例如 ((a + b + c)^n)，但展開形式更複雜。

示例說明：

以 ((x + 2)) 為例，展開過程為： $$ begin{aligned} (x + 2) &= binom{4}{0}x 2^0 + binom{4}{1}x 2 + binom{4}{2}x 2 + binom{4}{3}x 2 + binom{4}{4}x^0 2 &= x + 8x + 24x + 32x + 16. end{aligned} $$

二項式定理通過組合數學揭示了多項式展開的規律，是連接代數與組合分析的基礎工具，廣泛應用于科學和工程領域。