二项式定理英文解释翻译、二项式定理的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 binomial theorem

分词翻译：

二的英语翻译：

twin; two
【计】 binary-coded decimal; binary-coded decimal character code
binary-to-decimal conversion; binary-to-hexadecimal conversion
【医】 bi-; bis-; di-; duo-

项的英语翻译：

nape; nucha; sum; term
【计】 item
【医】 nape; nape of neck; nucha; scruff of neck; trachel-; trachelo-
【经】 item

式的英语翻译：

ceremony; formula; model; pattern; ritual; style; type
【化】 expression
【医】 F.; feature; formula; Ty.; type

定理的英语翻译：

theorem
【化】 theorem
【医】 theorem

专业解析

二项式定理 (Binomial Theorem) 的汉英词典释义与详解

一、术语定义 (Terminology Definition)

中文 (Chinese): 二项式定理 (Èr xiàng shì dìng lǐ)
英文 (English): Binomial Theorem
释义 (Definition): 二项式定理是代数学中的一个基础定理，它描述了二项式（即形如 ((a + b)) 的表达式）的幂（正整数指数 (n)）展开为多项式之规则。该定理给出了展开式中每一项系数的明确计算公式。

二、数学表达式 (Mathematical Expression) 二项式定理的标准形式为： $$ (a + b)^n = sum_{k=0}^{n} binom{n}{k} a^{n-k} b^k $$ 其中：

(n) 是一个非负整数（幂次）。
(a) 和 (b) 是任意实数或复数（二项式的底数）。
(sum_{k=0}^{n}) 表示对 (k) 从 0 到 (n) 求和。
(binom{n}{k}) 是二项式系数，读作 “n 选 k”，其值等于 (frac{n!}{k!(n-k)!})。它精确地给出了展开式中项 (a^{n-k}b^k) 的系数。

三、核心要素详解 (Key Components Explained)

二项式 (Binomial): 指包含两项的代数和，即 ((a + b))。
幂 (Power/Exponentiation): 指二项式被自身乘 (n) 次，写作 ((a + b)^n)。
展开式 (Expansion): 将 ((a + b)^n) 写成多项式形式的结果。例如： begin{align} (a + b)^0 &= 1 (a + b) &= a + b (a + b) &= a + 2ab + b (a + b) &= a + 3ab + 3ab + b end{align}
二项式系数 (Binomial Coefficient) (binom{n}{k}): 这是定理的核心。它不仅是展开式中各项的系数，在组合数学中也有重要意义，代表从 (n) 个不同元素中选取 (k) 个元素的组合数。其值可通过杨辉三角（帕斯卡三角）便捷查找或通过公式 (frac{n!}{k!(n-k)!}) 计算。
项的通式 (General Term): 展开式中的每一项都具有 (binom{n}{k} a^{n-k} b^k) 的形式。当 (k) 从 0 取到 (n) 时，就得到了所有项。例如，在 ((a + b)) 中，含 (ab) 的项对应 (k=2)，系数为 (binom{4}{2} = 6)，即 (6ab)。

四、应用与意义 (Applications and Significance) 二项式定理是代数学、概率论、统计学和组合数学等多个领域的基石工具。其应用包括：

多项式展开：快速计算二项式的高次幂。
近似计算：当 (b) 远小于 (a) 时，可用前几项近似 ((a + b)^n)。
概率计算：在二项分布的概率计算中，系数 (binom{n}{k}) 直接对应特定事件发生的组合方式数目。
组合恒等式：用于证明许多组合恒等式（如令 (a = b = 1) 可得 (sum_{k=0}^{n} binom{n}{k} = 2^n)）。

来源参考 (Sources):

《数学百科全书》(Encyclopedia of Mathematics) - Binomial Theorem 条目概述。
《牛津数学词典》(Oxford Concise Dictionary of Mathematics) - Binomial Theorem 定义与公式。
组合数学基础教材 (如 Brualdi, R.A. Introductory Combinatorics) - 二项式系数与组合解释。

网络扩展解释

二项式定理是代数学中的重要定理，用于展开形如 ((a + b)^n) 的二项式的幂次表达式。其核心公式为：

$$ (a + b)^n = sum_{k=0}^{n} binom{n}{k} a^{n-k} b^{k} $$

核心要点解析：

公式结构
展开式中，每一项的形式为 (binom{n}{k} a^{n-k} b^k)，其中：
- (binom{n}{k}) 是组合数（二项式系数），表示从 (n) 个元素中选 (k) 个的方式数，计算公式为 (frac{n!}{k!(n-k)!})。
- (a^{n-k} b^k) 表示变量的幂次，指数之和恒为 (n)。
组合数的意义
组合数 (binom{n}{k}) 对应帕斯卡三角形（杨辉三角）的第 (n) 行第 (k) 列，例如：
- ((a + b) = a + 3ab + 3ab + b)，系数为 (1, 3, 3, 1)，对应组合数 (binom{3}{0}) 到 (binom{3}{3})。
应用场景
- 概率论：计算二项分布的概率。
- 近似计算：当 (n) 为分数或负数时，可展开为无穷级数（需收敛）。
- 多项式展开：简化复杂代数表达式。
扩展形式
定理可推广到多元多项式，例如 ((a + b + c)^n)，但展开形式更复杂。

示例说明：

以 ((x + 2)) 为例，展开过程为： $$ begin{aligned} (x + 2) &= binom{4}{0}x 2^0 + binom{4}{1}x 2 + binom{4}{2}x 2 + binom{4}{3}x 2 + binom{4}{4}x^0 2 &= x + 8x + 24x + 32x + 16. end{aligned} $$

二项式定理通过组合数学揭示了多项式展开的规律，是连接代数与组合分析的基础工具，广泛应用于科学和工程领域。