定常疊代英文解釋翻譯、定常疊代的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 stationary iteration; steady state iteration

分詞翻譯：

定常的英語翻譯：

【計】 stationary

疊代的英語翻譯：

【計】 iterate; iteration

專業解析

在數值分析領域，"定常疊代法"（Stationary Iterative Methods）指一類通過固定規則反複更新近似解以逼近線性方程組解的算法。其核心特征是疊代矩陣在每次疊代中保持不變。以下是漢英雙重視角的專業解釋：

一、漢語釋義

"定常"意為固定不變，"疊代"指重複執行某一計算過程。定常疊代法通過構造疊代公式 $x^{(k+1)} = Bx^{(k)} + c$ 求解方程組 $Ax=b$，其中疊代矩陣 $B$ 和向量 $c$ 與疊代步數 $k$ 無關。典型算法包括：

雅可比法（Jacobi Method）：基于矩陣對角元分解
高斯-賽德爾法（Gauss-Seidel Method）：利用已更新分量的即時反饋
逐次超松弛法（SOR）：引入松弛因子加速收斂

二、英語對應術語

英文術語"Stationary Iterative Methods" 強調：

Stationary（定常）：疊代矩陣 $B$ 恒定，區别于非定常方法（如Krylov子空間法）
Linear Convergence（線性收斂）：誤差以 $|B|$ 的幾何速率下降（需 $rho(B)<1$）
數學表述為：

$$ x^{(k+1)} = Bx^{(k)} + c, quad text{其中 } B = I - Q^{-1}A, c = Q^{-1}b $$

$Q$ 為預處理矩陣，$I$ 為單位矩陣

三、權威定義參考

《數值分析》（Burden & Faires）：

"定常疊代法将方程組 $Ax=b$ 改寫為 $x = Tx + c$，通過極限 $x = lim_{ktoinfty} x^{(k)}$ 獲得解。"
（來源：Numerical Analysis, 10th ed., Cengage Learning）
SIAM期刊：

"當譜半徑 $rho(B) < 1$ 時，定常疊代對任意初始向量收斂。"
（來源：SIAM Review, Vol. 44, pp. 311–335）

四、應用場景

泊松方程求解：有限差分法離散後的線性系統（如熱傳導模拟）
計算流體力學：壓力修正步驟的隱式求解
優勢：算法簡單、内存占用低，適用于大規模稀疏矩陣

關鍵公式

收斂條件由譜半徑決定：

$$ lim_{k to infty} | e^{(k)} | = 0 quad text{當且僅當} quad rho(B) < 1 $$

其中 $e^{(k)} = x^{(k)} - x^*$ 為第 $k$ 步誤差。

網絡擴展解釋

定常疊代法是數值分析中用于求解線性方程組的一類疊代方法，其核心特征在于疊代公式中的矩陣和參數在整個計算過程中保持不變。以下是詳細解釋：

1.基本定義

定常疊代法将線性方程組 ( Amathbf{x} = mathbf{b} ) 轉化為疊代形式： [ mathbf{x}^{(k+1)} = Bmathbf{x}^{(k)} + mathbf{c}, ] 其中：

( B ) 是疊代矩陣（與矩陣 ( A ) 相關，但固定不變），
( mathbf{c} ) 是常數向量，
( mathbf{x}^{(k)} ) 是第 ( k ) 次疊代的解向量。

2.常見方法

定常疊代法包括以下經典算法：

雅可比疊代法 (Jacobi)：将矩陣 ( A ) 分解為對角矩陣 ( D )、嚴格下三角矩陣 ( -L ) 和嚴格上三角矩陣 ( -U )，疊代公式為： [ mathbf{x}^{(k+1)} = D^{-1}(L + U)mathbf{x}^{(k)} + D^{-1}mathbf{b}. ]
高斯-賽德爾疊代法 (Gauss-Seidel)：利用已更新的分量加速收斂： [ mathbf{x}^{(k+1)} = (D - L)^{-1}Umathbf{x}^{(k)} + (D - L)^{-1}mathbf{b}. ]
逐次超松弛法 (SOR)：引入松弛因子 ( omega ) 優化收斂速度。

3.收斂條件

定常疊代法的收斂性取決于疊代矩陣 ( B ) 的譜半徑（即最大特征值的模）： [ rho(B) < 1 quad Rightarrow quad text{疊代收斂}. ] 具體條件包括：

若 ( A ) 是嚴格對角占優或不可約對角占優矩陣，雅可比和高斯-賽德爾法均收斂。
若 ( A ) 對稱正定，高斯-賽德爾法收斂。

4.優缺點

優點：實現簡單，内存占用低，適合大型稀疏矩陣。
缺點：收斂速度較慢，尤其對條件數大的矩陣；需預先确定疊代矩陣和參數。

5.與非定常疊代法的區别

非定常疊代法（如共轭梯度法、GMRES）的疊代公式會動态調整參數或方向，而定常疊代法的公式始終固定，因此計算更簡單但靈活性較低。

示例：用雅可比法解方程組 ( 2x + y = 5 ), ( x + 3y = 6 )，疊代公式為： [ x^{(k+1)} = frac{5 - y^{(k)}}{2}, quad y^{(k+1)} = frac{6 - x^{(k)}}{3}. ] 每次疊代均使用前一步的全部分量，且公式不變。