定常迭代英文解释翻译、定常迭代的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 stationary iteration; steady state iteration

分词翻译：

定常的英语翻译：

【计】 stationary

迭代的英语翻译：

【计】 iterate; iteration

专业解析

在数值分析领域，"定常迭代法"（Stationary Iterative Methods）指一类通过固定规则反复更新近似解以逼近线性方程组解的算法。其核心特征是迭代矩阵在每次迭代中保持不变。以下是汉英双重视角的专业解释：

一、汉语释义

"定常"意为固定不变，"迭代"指重复执行某一计算过程。定常迭代法通过构造迭代公式 $x^{(k+1)} = Bx^{(k)} + c$ 求解方程组 $Ax=b$，其中迭代矩阵 $B$ 和向量 $c$ 与迭代步数 $k$ 无关。典型算法包括：

雅可比法（Jacobi Method）：基于矩阵对角元分解
高斯-赛德尔法（Gauss-Seidel Method）：利用已更新分量的即时反馈
逐次超松弛法（SOR）：引入松弛因子加速收敛

二、英语对应术语

英文术语"Stationary Iterative Methods" 强调：

Stationary（定常）：迭代矩阵 $B$ 恒定，区别于非定常方法（如Krylov子空间法）
Linear Convergence（线性收敛）：误差以 $|B|$ 的几何速率下降（需 $rho(B)<1$）
数学表述为：

$$ x^{(k+1)} = Bx^{(k)} + c, quad text{其中 } B = I - Q^{-1}A, c = Q^{-1}b $$

$Q$ 为预处理矩阵，$I$ 为单位矩阵

三、权威定义参考

《数值分析》（Burden & Faires）：

"定常迭代法将方程组 $Ax=b$ 改写为 $x = Tx + c$，通过极限 $x = lim_{ktoinfty} x^{(k)}$ 获得解。"
（来源：Numerical Analysis, 10th ed., Cengage Learning）
SIAM期刊：

"当谱半径 $rho(B) < 1$ 时，定常迭代对任意初始向量收敛。"
（来源：SIAM Review, Vol. 44, pp. 311–335）

四、应用场景

泊松方程求解：有限差分法离散后的线性系统（如热传导模拟）
计算流体力学：压力修正步骤的隐式求解
优势：算法简单、内存占用低，适用于大规模稀疏矩阵

关键公式

收敛条件由谱半径决定：

$$ lim_{k to infty} | e^{(k)} | = 0 quad text{当且仅当} quad rho(B) < 1 $$

其中 $e^{(k)} = x^{(k)} - x^*$ 为第 $k$ 步误差。

网络扩展解释

定常迭代法是数值分析中用于求解线性方程组的一类迭代方法，其核心特征在于迭代公式中的矩阵和参数在整个计算过程中保持不变。以下是详细解释：

1.基本定义

定常迭代法将线性方程组 ( Amathbf{x} = mathbf{b} ) 转化为迭代形式： [ mathbf{x}^{(k+1)} = Bmathbf{x}^{(k)} + mathbf{c}, ] 其中：

( B ) 是迭代矩阵（与矩阵 ( A ) 相关，但固定不变），
( mathbf{c} ) 是常数向量，
( mathbf{x}^{(k)} ) 是第 ( k ) 次迭代的解向量。

2.常见方法

定常迭代法包括以下经典算法：

雅可比迭代法 (Jacobi)：将矩阵 ( A ) 分解为对角矩阵 ( D )、严格下三角矩阵 ( -L ) 和严格上三角矩阵 ( -U )，迭代公式为： [ mathbf{x}^{(k+1)} = D^{-1}(L + U)mathbf{x}^{(k)} + D^{-1}mathbf{b}. ]
高斯-赛德尔迭代法 (Gauss-Seidel)：利用已更新的分量加速收敛： [ mathbf{x}^{(k+1)} = (D - L)^{-1}Umathbf{x}^{(k)} + (D - L)^{-1}mathbf{b}. ]
逐次超松弛法 (SOR)：引入松弛因子 ( omega ) 优化收敛速度。

3.收敛条件

定常迭代法的收敛性取决于迭代矩阵 ( B ) 的谱半径（即最大特征值的模）： [ rho(B) < 1 quad Rightarrow quad text{迭代收敛}. ] 具体条件包括：

若 ( A ) 是严格对角占优或不可约对角占优矩阵，雅可比和高斯-赛德尔法均收敛。
若 ( A ) 对称正定，高斯-赛德尔法收敛。

4.优缺点

优点：实现简单，内存占用低，适合大型稀疏矩阵。
缺点：收敛速度较慢，尤其对条件数大的矩阵；需预先确定迭代矩阵和参数。

5.与非定常迭代法的区别

非定常迭代法（如共轭梯度法、GMRES）的迭代公式会动态调整参数或方向，而定常迭代法的公式始终固定，因此计算更简单但灵活性较低。

示例：用雅可比法解方程组 ( 2x + y = 5 ), ( x + 3y = 6 )，迭代公式为： [ x^{(k+1)} = frac{5 - y^{(k)}}{2}, quad y^{(k+1)} = frac{6 - x^{(k)}}{3}. ] 每次迭代均使用前一步的全部分量，且公式不变。