單元素環英文解釋翻譯、單元素環的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 singleton cycle

分詞翻譯：

單的英語翻譯：

odd; single
【醫】 azygos; mon-; mono-; uni-

元素的英語翻譯：

element
【計】 E
【化】 element
【醫】 element

環的英語翻譯：

annulus; hem in; link; loop; ring; surround
【計】 ring up; toroid
【化】 ring
【醫】 annuli; anulus; band; circle; circulus; cycle; cyclo-; gyro-; loop; orb
ring; verge

專業解析

在數學環論中，單元素環（Zero Ring）是指僅包含一個元素的特殊代數結構。該元素同時承擔加法單位元（0）和乘法單位元（1）的雙重角色，因此滿足以下基本性質：

R = {0},quad 0 + 0 = 0,quad 0 cdot 0 = 0

從代數結構看，單元素環是滿足環公理的最小可能集合。其所有運算結果均坍縮為唯一元素，因此不存在非平凡的子環或理想結構。

在漢英術語對照中，"單元素環"對應的英文表述為"zero ring"或"trivial ring"。該術語常見于抽象代數教材，例如《Algebra: Chapter 0》将其定義為"the terminal object in the category of rings"。

單元素環的性質包括：

平凡性：所有環同态$f: R to {0}$均唯一存在，使其成為環範疇的終對象；
理想結構：在任意環$A$中，零理想${0}$若含乘法單位元則構成單元素環；
範疇特征：其存在性保證了環範疇中空積（empty product）的良定義性。

該概念在代數幾何中具有理論意義，例如作為概形範疇的終對象，但在實際計算中常被視為退化情形。

網絡擴展解釋

單元素環是抽象代數中的一個特殊概念，指僅包含一個元素的環結構。以下是詳細解釋：

定義與唯一性單元素環的唯一元素既是加法單位元（記作0）又是乘法單位元（記作1），即滿足 $0 = 1$。這種環也被稱為零環（Zero Ring），其運算規則為：
- 加法：$0 + 0 = 0$
- 乘法：$0 cdot 0 = 0$
滿足環公理
- 加法群：單元素環構成平凡加法群，滿足交換律、結合律，且每個元素（僅0）的逆元是其自身。
- 乘法封閉性：唯一元素在乘法下封閉。
- 分配律：$0 cdot (0 + 0) = 0 cdot 0 + 0 cdot 0$ 顯然成立。
性質特點
- 是交換環（乘法交換律自動滿足）。
- 無零因子（因所有元素均為0）。
- 是唯一滿足 $0 = 1$ 的環，其他環均要求 $0 eq 1$。
應用與意義單元素環在範疇論中常作為某些範疇的初始對象或終對象，其簡單性也用于構造反例或驗證理論邊界條件。

總結來說，單元素環是環論中最簡單的非空結構，通過唯一元素的自我運算滿足所有環公理，但缺乏複雜的代數性質。