单元素环英文解释翻译、单元素环的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 singleton cycle

分词翻译：

单的英语翻译：

odd; single
【医】 azygos; mon-; mono-; uni-

元素的英语翻译：

element
【计】 E
【化】 element
【医】 element

环的英语翻译：

annulus; hem in; link; loop; ring; surround
【计】 ring up; toroid
【化】 ring
【医】 annuli; anulus; band; circle; circulus; cycle; cyclo-; gyro-; loop; orb
ring; verge

专业解析

在数学环论中，单元素环（Zero Ring）是指仅包含一个元素的特殊代数结构。该元素同时承担加法单位元（0）和乘法单位元（1）的双重角色，因此满足以下基本性质：

R = {0},quad 0 + 0 = 0,quad 0 cdot 0 = 0

从代数结构看，单元素环是满足环公理的最小可能集合。其所有运算结果均坍缩为唯一元素，因此不存在非平凡的子环或理想结构。

在汉英术语对照中，"单元素环"对应的英文表述为"zero ring"或"trivial ring"。该术语常见于抽象代数教材，例如《Algebra: Chapter 0》将其定义为"the terminal object in the category of rings"。

单元素环的性质包括：

平凡性：所有环同态$f: R to {0}$均唯一存在，使其成为环范畴的终对象；
理想结构：在任意环$A$中，零理想${0}$若含乘法单位元则构成单元素环；
范畴特征：其存在性保证了环范畴中空积（empty product）的良定义性。

该概念在代数几何中具有理论意义，例如作为概形范畴的终对象，但在实际计算中常被视为退化情形。

网络扩展解释

单元素环是抽象代数中的一个特殊概念，指仅包含一个元素的环结构。以下是详细解释：

定义与唯一性单元素环的唯一元素既是加法单位元（记作0）又是乘法单位元（记作1），即满足 $0 = 1$。这种环也被称为零环（Zero Ring），其运算规则为：
- 加法：$0 + 0 = 0$
- 乘法：$0 cdot 0 = 0$
满足环公理
- 加法群：单元素环构成平凡加法群，满足交换律、结合律，且每个元素（仅0）的逆元是其自身。
- 乘法封闭性：唯一元素在乘法下封闭。
- 分配律：$0 cdot (0 + 0) = 0 cdot 0 + 0 cdot 0$ 显然成立。
性质特点
- 是交换环（乘法交换律自动满足）。
- 无零因子（因所有元素均为0）。
- 是唯一满足 $0 = 1$ 的环，其他环均要求 $0 eq 1$。
应用与意义单元素环在范畴论中常作为某些范畴的初始对象或终对象，其简单性也用于构造反例或验证理论边界条件。

总结来说，单元素环是环论中最简单的非空结构，通过唯一元素的自我运算满足所有环公理，但缺乏复杂的代数性质。