乘積形式英文解釋翻譯、乘積形式的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 product form

product

form; format; modality; shape
【法】 form

在漢英詞典視角下，“乘積形式”指将數學表達式或數值呈現為乘法運算結果的結構。該術語對應英文“product form”，強調通過乘法關系構建的數學表述方式。以下從定義、應用與權威解析三個維度展開說明：

中文釋義
“乘積形式”指由兩個及以上因子相乘構成的表達式，如 ( a times b ) 或 ( x cdot y )。其數學本質強調乘法運算的組合關系，常見于代數、微積分及概率論領域。

來源：張禾瑞《高等代數》（高等教育出版社）第五章“多項式”對乘積形式的代數定義。
英文對應術語
英文“product form”或“product notation”特指以乘法連接因子的表達式，例如：
- 連乘積：( prod_{i=1}^n a_i = a_1 times a_2 times cdots times a_n )
- 矩陣乘法：( mathbf{C} = mathbf{A} mathbf{B} )（矩陣乘積形式）
  來源：Hardy, G.H. A Course of Pure Mathematics（劍橋大學出版社）對乘積符號的解析。

概率論中的聯合分布
獨立事件的聯合概率可表示為乘積形式：

$$ P(A cap B) = P(A) cdot P(B) $$

此形式簡化了複雜事件的概率計算。

來源：Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications（Wiley出版社）第Ⅰ卷。
線性代數中的矩陣分解
矩陣的LU分解（( mathbf{A} = mathbf{LU} )）或奇異值分解（( mathbf{A} = mathbf{USigma V}^top )）均依賴乘積形式表達矩陣關系。

來源：Golub, G.H. & Van Loan, C.F. Matrix Computations（約翰霍普金斯大學出版社）。

《牛津數學詞典》（Oxford Dictionary of Mathematics）
定義“product”為：“The result of multiplying two or more quantities, or an expression involving multiplication.”

“乘積形式”作為基礎數學概念，其漢英釋義需緊扣乘法運算的結構性特征。在專業語境中，該術語的嚴謹性體現于代數、概率及矩陣運算等場景，其跨學科應用進一步驗證了核心定義的普適性。

“乘積形式”是數學中常見的表達方式，指将某個數學對象（如數、多項式、矩陣等）表示為多個因子相乘的結構。以下是詳細解釋：

基本定義乘積形式強調将整體拆解為多個部分的乘積，例如：
- 數的分解：6 = 2 × 3（質因數乘積）
- 多項式分解：$x - 4 = (x-2)(x+2)$（因式分解）
- 矩陣分解：$A = LU$（矩陣的LU分解）
核心作用
- 簡化運算：乘積形式常能簡化求根、積分、求導等操作。例如多項式因式分解後更容易找到零點。
- 揭示結構：通過分解可觀察對象的隱藏特性，如質因數分解體現數的素性，矩陣分解反映線性變換性質。
典型應用場景
- 因式分解：将多項式寫成低次多項式乘積，便于方程求根（如二次方程求根公式依賴因式分解）。
- 泰勒展開：部分函數展開為無窮乘積形式，如$sin x = xprod_{n=1}^infty left(1-frac{x}{npi}right)$。
- 概率統計：聯合概率可表示為條件概率的乘積，如$P(A,B) = P(A|B)P(B)$。
與和式形式的對比乘積形式與加法形式互補：
- 加法側重“疊加關系”（如多項式展開$x + 2x + 1$）
- 乘積側重“組合關系”（如$(x+1)$）

示例說明
積分運算中，$int (x-4)dx$ 直接計算較複雜，但分解為$int (x-2)(x+2)dx$ 後可能更易觀察對稱性。

若需特定數學領域（如群論、拓撲學）中乘積形式的延伸解釋，可進一步說明需求。