乘积形式英文解释翻译、乘积形式的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 product form

product

form; format; modality; shape
【法】 form

在汉英词典视角下，“乘积形式”指将数学表达式或数值呈现为乘法运算结果的结构。该术语对应英文“product form”，强调通过乘法关系构建的数学表述方式。以下从定义、应用与权威解析三个维度展开说明：

中文释义
“乘积形式”指由两个及以上因子相乘构成的表达式，如 ( a times b ) 或 ( x cdot y )。其数学本质强调乘法运算的组合关系，常见于代数、微积分及概率论领域。

来源：张禾瑞《高等代数》（高等教育出版社）第五章“多项式”对乘积形式的代数定义。
英文对应术语
英文“product form”或“product notation”特指以乘法连接因子的表达式，例如：
- 连乘积：( prod_{i=1}^n a_i = a_1 times a_2 times cdots times a_n )
- 矩阵乘法：( mathbf{C} = mathbf{A} mathbf{B} )（矩阵乘积形式）
  来源：Hardy, G.H. A Course of Pure Mathematics（剑桥大学出版社）对乘积符号的解析。

概率论中的联合分布
独立事件的联合概率可表示为乘积形式：

$$ P(A cap B) = P(A) cdot P(B) $$

此形式简化了复杂事件的概率计算。

来源：Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications（Wiley出版社）第Ⅰ卷。
线性代数中的矩阵分解
矩阵的LU分解（( mathbf{A} = mathbf{LU} )）或奇异值分解（( mathbf{A} = mathbf{USigma V}^top )）均依赖乘积形式表达矩阵关系。

来源：Golub, G.H. & Van Loan, C.F. Matrix Computations（约翰霍普金斯大学出版社）。

《牛津数学词典》（Oxford Dictionary of Mathematics）
定义“product”为：“The result of multiplying two or more quantities, or an expression involving multiplication.”

“乘积形式”作为基础数学概念，其汉英释义需紧扣乘法运算的结构性特征。在专业语境中，该术语的严谨性体现于代数、概率及矩阵运算等场景，其跨学科应用进一步验证了核心定义的普适性。

“乘积形式”是数学中常见的表达方式，指将某个数学对象（如数、多项式、矩阵等）表示为多个因子相乘的结构。以下是详细解释：

基本定义乘积形式强调将整体拆解为多个部分的乘积，例如：
- 数的分解：6 = 2 × 3（质因数乘积）
- 多项式分解：$x - 4 = (x-2)(x+2)$（因式分解）
- 矩阵分解：$A = LU$（矩阵的LU分解）
核心作用
- 简化运算：乘积形式常能简化求根、积分、求导等操作。例如多项式因式分解后更容易找到零点。
- 揭示结构：通过分解可观察对象的隐藏特性，如质因数分解体现数的素性，矩阵分解反映线性变换性质。
典型应用场景
- 因式分解：将多项式写成低次多项式乘积，便于方程求根（如二次方程求根公式依赖因式分解）。
- 泰勒展开：部分函数展开为无穷乘积形式，如$sin x = xprod_{n=1}^infty left(1-frac{x}{npi}right)$。
- 概率统计：联合概率可表示为条件概率的乘积，如$P(A,B) = P(A|B)P(B)$。
与和式形式的对比乘积形式与加法形式互补：
- 加法侧重“叠加关系”（如多项式展开$x + 2x + 1$）
- 乘积侧重“组合关系”（如$(x+1)$）

示例说明
积分运算中，$int (x-4)dx$ 直接计算较复杂，但分解为$int (x-2)(x+2)dx$ 后可能更易观察对称性。

若需特定数学领域（如群论、拓扑学）中乘积形式的延伸解释，可进一步说明需求。