乘法公理英文解釋翻譯、乘法公理的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 multiplicative axiom

分詞翻譯：

乘法的英語翻譯：

multiplication
【機】 multiplication

公理的英語翻譯：

axiom; generally acknowledged truth
【計】 Armstrong

專業解析

乘法公理（Multiplication Axiom），在集合論中也被稱為選擇公理（Axiom of Choice）的一種等價表述形式，是策梅洛-弗蘭克爾集合論（Zermelo-Fraenkel Set Theory, ZF）中的一個重要公理。其核心思想是：對于任意一族非空集合，都能從每個集合中選擇一個元素，構成一個新的集合（稱為選擇函數）。

數學定義（漢英對照）：

中文表述：若 ( I ) 是一個非空索引集，且對每個 ( i in I )，( Ai ) 是一個非空集合，則存在一個函數 ( f: I to bigcup{i in I} A_i )（稱為選擇函數），使得對所有 ( i in I )，有 ( f(i) in A_i )。
英文表述： Let ( I ) be a non-empty index set, and for each (i in I), let (Ai) be a non-empty set. Then there exists a function (f: I to bigcup{i in I} A_i) (called achoice function) such that for every (i in I), (f(i) in A_i).

關鍵解釋：

與笛卡爾積的關系：
乘法公理等價于斷言：任意一族非空集合的笛卡爾積 ( prod_{i in I} A_i ) 非空。笛卡爾積中的元素本質就是一個選擇函數，它為每個索引 (i) 指定了 (A_i) 中的一個元素。
應用場景：
該公理在證明許多基礎數學定理時不可或缺，例如：
- 證明任意無限集存在一個可數無限子集。
- 證明每個向量空間都有基（Hamel基）。
- 證明吉洪諾夫定理（緊空間的乘積是緊的）。
争議與地位：
因其非構造性（無法明确給出選擇函數的具體形式）和可能導出反直覺結論（如巴拿赫-塔斯基悖論），曆史上曾引發争議。但它已被現代數學廣泛接受，是标準集合論（ZFC，其中C代表Choice）的基礎公理之一。

權威參考來源：

《數學原理》（Principia Mathematica） - 懷特海德與羅素著，首次系統探讨了選擇公理的形式與意義。
《集合論導論》（Introduction to Set Theory） - Jech, T. 或 Hrbacek, K. & Jech, T. 的教材，詳細闡述公理系統及選擇公理的等價形式。
斯坦福哲學百科全書（Stanford Encyclopedia of Philosophy） - "Axiom of Choice" 條目，提供哲學與邏輯學視角的分析。
沃爾夫勒姆數學世界（Wolfram MathWorld） - "Axiom of Choice" 詞條，包含數學定義與應用實例。

（注：因未搜索到具體網頁鍊接，此處僅列出公認權威著作及資源名稱。實際引用時建議查找最新版本書籍或可信線上學術平台的對應條目鍊接。）

網絡擴展解釋

乘法公理（Multiplication Axiom）在不同數學領域中有不同的含義，需結合具體上下文理解：

1.集合論中的乘法公理

在集合論中，乘法公理是選擇公理（Axiom of Choice）的一種等價表述形式。其核心内容是：

若有一族非空集合 ${Ai}{i in I}$，則它們的笛卡爾積 $prod_{i in I} A_i$ 也是非空的。

解釋

笛卡爾積中的每個元素是一個“選擇函數”，能從每個集合 $A_i$ 中選出一個元素。
該公理保證了無限次獨立選擇的可能性，是數學中許多定理（如佐恩引理）的基礎。

2.組合數學中的乘法原理

在組合學中，乘法原理（Multiplication Principle）是計算事件組合方式的基本規則：

若完成一個任務需要 $n$ 個步驟，第 $i$ 個步驟有 $k_i$ 種方法，則總方法數為 $k_1 times k_2 times cdots times k_n$。

示例
若有 3 件上衣和 2 條褲子，則搭配方式為 $3 times 2 = 6$ 種。

常見混淆點

術語差異：集合論的“乘法公理”涉及公理化系統，而組合學的“乘法原理”是實用計數工具。
應用場景：前者用于抽象數學證明（如無窮集合性質），後者用于解決具體排列組合問題。

若需進一步區分或了解特定領域細節，請補充上下文。