乘法公理英文解释翻译、乘法公理的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 multiplicative axiom

分词翻译：

乘法的英语翻译：

multiplication
【机】 multiplication

公理的英语翻译：

axiom; generally acknowledged truth
【计】 Armstrong

专业解析

乘法公理（Multiplication Axiom），在集合论中也被称为选择公理（Axiom of Choice）的一种等价表述形式，是策梅洛-弗兰克尔集合论（Zermelo-Fraenkel Set Theory, ZF）中的一个重要公理。其核心思想是：对于任意一族非空集合，都能从每个集合中选择一个元素，构成一个新的集合（称为选择函数）。

数学定义（汉英对照）：

中文表述：若 ( I ) 是一个非空索引集，且对每个 ( i in I )，( Ai ) 是一个非空集合，则存在一个函数 ( f: I to bigcup{i in I} A_i )（称为选择函数），使得对所有 ( i in I )，有 ( f(i) in A_i )。
英文表述： Let ( I ) be a non-empty index set, and for each (i in I), let (Ai) be a non-empty set. Then there exists a function (f: I to bigcup{i in I} A_i) (called achoice function) such that for every (i in I), (f(i) in A_i).

关键解释：

与笛卡尔积的关系：
乘法公理等价于断言：任意一族非空集合的笛卡尔积 ( prod_{i in I} A_i ) 非空。笛卡尔积中的元素本质就是一个选择函数，它为每个索引 (i) 指定了 (A_i) 中的一个元素。
应用场景：
该公理在证明许多基础数学定理时不可或缺，例如：
- 证明任意无限集存在一个可数无限子集。
- 证明每个向量空间都有基（Hamel基）。
- 证明吉洪诺夫定理（紧空间的乘积是紧的）。
争议与地位：
因其非构造性（无法明确给出选择函数的具体形式）和可能导出反直觉结论（如巴拿赫-塔斯基悖论），历史上曾引发争议。但它已被现代数学广泛接受，是标准集合论（ZFC，其中C代表Choice）的基础公理之一。

权威参考来源：

《数学原理》（Principia Mathematica） - 怀特海德与罗素著，首次系统探讨了选择公理的形式与意义。
《集合论导论》（Introduction to Set Theory） - Jech, T. 或 Hrbacek, K. & Jech, T. 的教材，详细阐述公理系统及选择公理的等价形式。
斯坦福哲学百科全书（Stanford Encyclopedia of Philosophy） - "Axiom of Choice" 条目，提供哲学与逻辑学视角的分析。
沃尔夫勒姆数学世界（Wolfram MathWorld） - "Axiom of Choice" 词条，包含数学定义与应用实例。

（注：因未搜索到具体网页链接，此处仅列出公认权威著作及资源名称。实际引用时建议查找最新版本书籍或可信在线学术平台的对应条目链接。）

网络扩展解释

乘法公理（Multiplication Axiom）在不同数学领域中有不同的含义，需结合具体上下文理解：

1.集合论中的乘法公理

在集合论中，乘法公理是选择公理（Axiom of Choice）的一种等价表述形式。其核心内容是：

若有一族非空集合 ${Ai}{i in I}$，则它们的笛卡尔积 $prod_{i in I} A_i$ 也是非空的。

解释

笛卡尔积中的每个元素是一个“选择函数”，能从每个集合 $A_i$ 中选出一个元素。
该公理保证了无限次独立选择的可能性，是数学中许多定理（如佐恩引理）的基础。

2.组合数学中的乘法原理

在组合学中，乘法原理（Multiplication Principle）是计算事件组合方式的基本规则：

若完成一个任务需要 $n$ 个步骤，第 $i$ 个步骤有 $k_i$ 种方法，则总方法数为 $k_1 times k_2 times cdots times k_n$。

示例
若有 3 件上衣和 2 条裤子，则搭配方式为 $3 times 2 = 6$ 种。

常见混淆点

术语差异：集合论的“乘法公理”涉及公理化系统，而组合学的“乘法原理”是实用计数工具。
应用场景：前者用于抽象数学证明（如无穷集合性质），后者用于解决具体排列组合问题。

若需进一步区分或了解特定领域细节，请补充上下文。