對角化矩陣英文解釋翻譯、對角化矩陣的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 diagonalizable matrix

分詞翻譯：

對角的英語翻譯：

on the cross

化的英語翻譯：

burn up; change; convert; melt; spend; turn

矩陣的英語翻譯：

matrix
【計】 matrix
【化】 matrix
【經】 matrices; matrix

專業解析

對角化矩陣（Diagonalizable Matrix）是線性代數中的核心概念，指一個方陣通過相似變換可轉化為對角矩陣的過程。從漢英詞典角度解釋，其英文術語為“Diagonalizable Matrix”或“Diagonal Matrix Transformation”，定義為：若存在可逆矩陣( P )和對角矩陣( D )，使得( P^{-1}AP = D )，則稱矩陣( A )可對角化。

數學條件與步驟

特征值與特征向量：矩陣對角化的前提是存在( n )個線性無關的特征向量（( n )為矩陣階數）。具體步驟包括：
- 計算矩陣的特征值，解方程( det(A - lambda I) = 0 )；
- 對每個特征值，求其對應的特征向量；
- 若特征向量數量足夠，則矩陣可對角化。
應用場景：對角化可簡化矩陣幂運算（如( A^k = PD^kP^{-1} )）和微分方程求解，在工程、物理學和計算機圖形學中均有廣泛應用。

示例與重要性

例如，矩陣( A = begin{pmatrix} 2 & 10 & 3 end{pmatrix} )的特征值為2和3，對應特征向量為( begin{pmatrix} 10 end{pmatrix} )和( begin{pmatrix} 11 end{pmatrix} )，因此可構造( P = begin{pmatrix} 1 & 10 & 1 end{pmatrix} )，使( P^{-1}AP = begin{pmatrix} 2 & 00 & 3 end{pmatrix} )。

權威參考

該定義及步驟參考自Gilbert Strang所著《線性代數及其應用》（Linear Algebra and Its Applications），同時結合了MIT OpenCourseWare的線性代數課程中對特征值理論的解析。

網絡擴展解釋

對角化矩陣是線性代數中的一個重要概念，指将一個方陣通過相似變換轉化為對角矩陣的過程。以下是詳細解釋：

1.基本定義

若存在可逆矩陣( P )和對角矩陣( D )，使得： $$ P^{-1}AP = D $$ 則稱矩陣( A )可對角化。此時，( D )的主對角線元素是( A )的特征值，( P )的列向量是( A )對應的特征向量。

2.對角化的條件

特征值條件：矩陣必須有足夠的線性無關特征向量。對于( n times n )矩陣，需要存在( n )個線性無關的特征向量。
代數與幾何重數：每個特征值的代數重數（特征方程的重根次數）必須等于其幾何重數（對應特征空間的維數）。

3.對角化的步驟

求特征值：解特征方程( det(A - lambda I) = 0 )。
求特征向量：對每個特征值( lambda )，解齊次方程組( (A - lambda I)mathbf{x} = 0 )。
構造矩陣( P )和( D )：将特征向量作為( P )的列，特征值按順序排列成對角矩陣( D )。

4.應用場景

簡化計算：矩陣的幂運算( A^k = PD^kP^{-1} )更容易計算。
解微分方程：将耦合的線性微分方程組解耦。
物理與工程：用于系統穩定性分析、主成分分析（PCA）等。

5.特例與擴展

對稱矩陣：實對稱矩陣一定可對角化，且可用正交矩陣實現對角化（譜定理）。
不可對角化矩陣：若特征向量不足，矩陣需轉化為若爾當标準型。

例如，矩陣( A = begin{pmatrix} 2 & 10 & 3 end{pmatrix} )的特征值為2和3，對應特征向量為( begin{pmatrix}10end{pmatrix} )和( begin{pmatrix}11end{pmatrix} )，可構造( P = begin{pmatrix}1 & 10 & 1end{pmatrix} )，使得( P^{-1}AP = begin{pmatrix}2 & 00 & 3end{pmatrix} )。