对角化矩阵英文解释翻译、对角化矩阵的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 diagonalizable matrix

分词翻译：

对角的英语翻译：

on the cross

化的英语翻译：

burn up; change; convert; melt; spend; turn

矩阵的英语翻译：

matrix
【计】 matrix
【化】 matrix
【经】 matrices; matrix

专业解析

对角化矩阵（Diagonalizable Matrix）是线性代数中的核心概念，指一个方阵通过相似变换可转化为对角矩阵的过程。从汉英词典角度解释，其英文术语为“Diagonalizable Matrix”或“Diagonal Matrix Transformation”，定义为：若存在可逆矩阵( P )和对角矩阵( D )，使得( P^{-1}AP = D )，则称矩阵( A )可对角化。

数学条件与步骤

特征值与特征向量：矩阵对角化的前提是存在( n )个线性无关的特征向量（( n )为矩阵阶数）。具体步骤包括：
- 计算矩阵的特征值，解方程( det(A - lambda I) = 0 )；
- 对每个特征值，求其对应的特征向量；
- 若特征向量数量足够，则矩阵可对角化。
应用场景：对角化可简化矩阵幂运算（如( A^k = PD^kP^{-1} )）和微分方程求解，在工程、物理学和计算机图形学中均有广泛应用。

示例与重要性

例如，矩阵( A = begin{pmatrix} 2 & 10 & 3 end{pmatrix} )的特征值为2和3，对应特征向量为( begin{pmatrix} 10 end{pmatrix} )和( begin{pmatrix} 11 end{pmatrix} )，因此可构造( P = begin{pmatrix} 1 & 10 & 1 end{pmatrix} )，使( P^{-1}AP = begin{pmatrix} 2 & 00 & 3 end{pmatrix} )。

权威参考

该定义及步骤参考自Gilbert Strang所著《线性代数及其应用》（Linear Algebra and Its Applications），同时结合了MIT OpenCourseWare的线性代数课程中对特征值理论的解析。

网络扩展解释

对角化矩阵是线性代数中的一个重要概念，指将一个方阵通过相似变换转化为对角矩阵的过程。以下是详细解释：

1.基本定义

若存在可逆矩阵( P )和对角矩阵( D )，使得： $$ P^{-1}AP = D $$ 则称矩阵( A )可对角化。此时，( D )的主对角线元素是( A )的特征值，( P )的列向量是( A )对应的特征向量。

2.对角化的条件

特征值条件：矩阵必须有足够的线性无关特征向量。对于( n times n )矩阵，需要存在( n )个线性无关的特征向量。
代数与几何重数：每个特征值的代数重数（特征方程的重根次数）必须等于其几何重数（对应特征空间的维数）。

3.对角化的步骤

求特征值：解特征方程( det(A - lambda I) = 0 )。
求特征向量：对每个特征值( lambda )，解齐次方程组( (A - lambda I)mathbf{x} = 0 )。
构造矩阵( P )和( D )：将特征向量作为( P )的列，特征值按顺序排列成对角矩阵( D )。

4.应用场景

简化计算：矩阵的幂运算( A^k = PD^kP^{-1} )更容易计算。
解微分方程：将耦合的线性微分方程组解耦。
物理与工程：用于系统稳定性分析、主成分分析（PCA）等。

5.特例与扩展

对称矩阵：实对称矩阵一定可对角化，且可用正交矩阵实现对角化（谱定理）。
不可对角化矩阵：若特征向量不足，矩阵需转化为若尔当标准型。

例如，矩阵( A = begin{pmatrix} 2 & 10 & 3 end{pmatrix} )的特征值为2和3，对应特征向量为( begin{pmatrix}10end{pmatrix} )和( begin{pmatrix}11end{pmatrix} )，可构造( P = begin{pmatrix}1 & 10 & 1end{pmatrix} )，使得( P^{-1}AP = begin{pmatrix}2 & 00 & 3end{pmatrix} )。