對角占優矩陣英文解釋翻譯、對角占優矩陣的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 diagonally-dominant matrix

分詞翻譯：

對的英語翻譯：

right; answer; reply; at; check; compare; couple; mutual; opposite; versus; vs
face to face
【計】 P
【化】 dyad
【醫】 Adv.; contra-; corps; ob-; p-; pair; par; para-
【經】 vs

角的英語翻譯：

corner; angle; cape; contend; horn; wrestle; role
【醫】 angle; anguli; angulus; Broca's angle; cornu; cornua; gonio-; horn

占的英語翻譯：

account; account for; occupy; practise divination

優的英語翻譯：

actor; excellent
【醫】 eu-

矩陣的英語翻譯：

matrix
【計】 matrix
【化】 matrix
【經】 matrices; matrix

專業解析

對角占優矩陣（Diagonally Dominant Matrix）是線性代數中具有特殊結構的一類方陣，其核心特征體現在矩陣主對角線元素的絕對值與同行非對角線元素絕對值之關系上。根據美國數學學會發布的《數學術語詞典》定義，該矩陣可分為兩種類型：

1. 嚴格對角占優矩陣（Strictly Diagonally Dominant Matrix）

對任意行$i$均滿足不等式： $$ |a{ii}| > sum{j eq i} |a_{ij}| $$ 例如矩陣$begin{bmatrix} 5 & 1 & 01 & 6 & 20 & 2 & 7 end{bmatrix}$中，每行主對角元素均大于同行非對角元素絕對值之和。

2. 弱對角占優矩陣（Weakly Diagonally Dominant Matrix）

對任意行$i$滿足非嚴格不等式： $$ |a{ii}| geq sum{j eq i} |a_{ij}| $$ 且至少存在一行使得嚴格不等式成立。這類矩陣在計算數學中常用于判斷矩陣可逆性，如劍橋大學數值分析教材指出，嚴格對角占優矩陣必定非奇異。

該概念在工程計算中具有重要價值，IEEE《數值方法期刊》研究顯示，對角占優特性可保證雅可比疊代法和高斯-賽德爾疊代法的收斂性。其應用領域涵蓋電路網絡分析、結構力學平衡方程求解等方向，相關證明過程可見于《矩陣分析及其工程應用》第三章。

網絡擴展解釋

對角占優矩陣是線性代數中一類具有特殊結構的矩陣，其核心特征體現在對角線元素的“主導性”上。以下是詳細解釋：

一、嚴格對角占優矩陣

對于方陣$A=(a{ij}){n×n}$，若滿足： $$ forall i in {1,2,...,n},quad |a{ii}| > sum{j=1,j eq i}^n |a_{ij}| $$ 即每行對角線元素的絕對值嚴格大于該行其他元素絕對值之和。例如矩陣： $$ begin{bmatrix} 5 & 1 & 0 1 & 6 & 2 3 & 0 & 9 end{bmatrix} $$ 第一行：$|5| > |1| + |0|$，第二行：$|6| > |1| + |2|$，第三行：$|9| > |3| + |0|$，滿足嚴格對角占優。

二、弱對角占優矩陣

若矩陣滿足：

$forall i, |a{ii}| geq sum{j eq i} |a_{ij}|$
至少存在一行使得$|a{kk}| > sum{j eq k} |a_{kj}|$

例如： $$ begin{bmatrix} 4 & 1 & 1 1 & 4 & 1 1 & 1 & 4 end{bmatrix} $$ 每行對角線元素等于其他元素之和，但若将第三行改為$$，則第三行滿足嚴格不等式，整體為弱對角占優。

三、重要性質

可逆性：嚴格對角占優矩陣必定是非奇異矩陣（行列式非零），因此必然可逆。
特征值分布：所有特征值的模都大于等于$|a{ii}| - sum{j eq i} |a_{ij}|$，保證特征值遠離原點。
疊代法收斂：在求解線性方程組$Ax=b$時，若$A$嚴格對角占優，則雅可比疊代法和高斯-賽德爾疊代法必定收斂。

四、應用領域

數值計算：保證線性方程組求解的穩定性
控制理論：分析系統矩陣的穩定性
經濟學模型：投入産出分析中确保解的存在性

五、擴展說明

若矩陣同時滿足對稱性和對角元素為正，則嚴格對角占優矩陣還是正定矩陣。這類矩陣在優化問題（如最小二乘法）和物理系統建模（如結構力學）中尤為重要。