对角占优矩阵英文解释翻译、对角占优矩阵的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 diagonally-dominant matrix

分词翻译：

对的英语翻译：

right; answer; reply; at; check; compare; couple; mutual; opposite; versus; vs
face to face
【计】 P
【化】 dyad
【医】 Adv.; contra-; corps; ob-; p-; pair; par; para-
【经】 vs

角的英语翻译：

corner; angle; cape; contend; horn; wrestle; role
【医】 angle; anguli; angulus; Broca's angle; cornu; cornua; gonio-; horn

占的英语翻译：

account; account for; occupy; practise divination

优的英语翻译：

actor; excellent
【医】 eu-

矩阵的英语翻译：

matrix
【计】 matrix
【化】 matrix
【经】 matrices; matrix

专业解析

对角占优矩阵（Diagonally Dominant Matrix）是线性代数中具有特殊结构的一类方阵，其核心特征体现在矩阵主对角线元素的绝对值与同行非对角线元素绝对值之关系上。根据美国数学学会发布的《数学术语词典》定义，该矩阵可分为两种类型：

1. 严格对角占优矩阵（Strictly Diagonally Dominant Matrix）

对任意行$i$均满足不等式： $$ |a{ii}| > sum{j eq i} |a_{ij}| $$ 例如矩阵$begin{bmatrix} 5 & 1 & 01 & 6 & 20 & 2 & 7 end{bmatrix}$中，每行主对角元素均大于同行非对角元素绝对值之和。

2. 弱对角占优矩阵（Weakly Diagonally Dominant Matrix）

对任意行$i$满足非严格不等式： $$ |a{ii}| geq sum{j eq i} |a_{ij}| $$ 且至少存在一行使得严格不等式成立。这类矩阵在计算数学中常用于判断矩阵可逆性，如剑桥大学数值分析教材指出，严格对角占优矩阵必定非奇异。

该概念在工程计算中具有重要价值，IEEE《数值方法期刊》研究显示，对角占优特性可保证雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法的收敛性。其应用领域涵盖电路网络分析、结构力学平衡方程求解等方向，相关证明过程可见于《矩阵分析及其工程应用》第三章。

网络扩展解释

对角占优矩阵是线性代数中一类具有特殊结构的矩阵，其核心特征体现在对角线元素的“主导性”上。以下是详细解释：

一、严格对角占优矩阵

对于方阵$A=(a{ij}){n×n}$，若满足： $$ forall i in {1,2,...,n},quad |a{ii}| > sum{j=1,j eq i}^n |a_{ij}| $$ 即每行对角线元素的绝对值严格大于该行其他元素绝对值之和。例如矩阵： $$ begin{bmatrix} 5 & 1 & 0 1 & 6 & 2 3 & 0 & 9 end{bmatrix} $$ 第一行：$|5| > |1| + |0|$，第二行：$|6| > |1| + |2|$，第三行：$|9| > |3| + |0|$，满足严格对角占优。

二、弱对角占优矩阵

若矩阵满足：

$forall i, |a{ii}| geq sum{j eq i} |a_{ij}|$
至少存在一行使得$|a{kk}| > sum{j eq k} |a_{kj}|$

例如： $$ begin{bmatrix} 4 & 1 & 1 1 & 4 & 1 1 & 1 & 4 end{bmatrix} $$ 每行对角线元素等于其他元素之和，但若将第三行改为$$，则第三行满足严格不等式，整体为弱对角占优。

三、重要性质

可逆性：严格对角占优矩阵必定是非奇异矩阵（行列式非零），因此必然可逆。
特征值分布：所有特征值的模都大于等于$|a{ii}| - sum{j eq i} |a_{ij}|$，保证特征值远离原点。
迭代法收敛：在求解线性方程组$Ax=b$时，若$A$严格对角占优，则雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法必定收敛。

四、应用领域

数值计算：保证线性方程组求解的稳定性
控制理论：分析系统矩阵的稳定性
经济学模型：投入产出分析中确保解的存在性

五、扩展说明

若矩阵同时满足对称性和对角元素为正，则严格对角占优矩阵还是正定矩阵。这类矩阵在优化问题（如最小二乘法）和物理系统建模（如结构力学）中尤为重要。