對稱矩陣英文解釋翻譯、對稱矩陣的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 symmetric matrix

分詞翻譯：

對稱的英語翻譯：

symmetry
【化】 symmetry
【醫】 symmetry

矩陣的英語翻譯：

matrix
【計】 matrix
【化】 matrix
【經】 matrices; matrix

專業解析

對稱矩陣（Symmetric Matrix）是線性代數中的核心概念，指其轉置矩陣等于自身的方陣，即滿足條件$A = A^T$，其中$A^T$表示矩陣$A$的轉置。從漢英詞典角度，其英文術語強調“對稱性”（symmetry）與“矩陣結構”（matrix structure）的結合，廣泛應用于物理、工程和計算機科學等領域。

1. 數學定義與性質

對稱矩陣的每個元素滿足$a{ij} = a{ji}$，主對角線兩側元素鏡像對稱。例如，一個3階對稱矩陣可表示為：

begin{bmatrix}

a & b & c

b & d & e

c & e & f

end{bmatrix}

其核心性質包括：

特征值均為實數，且特征向量正交；
可通過正交矩陣對角化，即$A = PDP^T$（$P$為正交矩陣，$D$為對角矩陣）；
二次型分析中，對稱矩陣對應實二次型的正定、半正定等性質。

2. 應用場景與實例

在工程力學中，對稱矩陣用于描述材料應力-應變關系；在計算機圖形學中，協方差矩陣（對稱矩陣）被用于主成分分析（PCA）以降低數據維度。例如，圖像處理中的人臉識别技術常依賴對稱矩陣的特征分解實現高效計算。

3. 學術參考與權威來源

根據《線性代數及其應用》（Gilbert Strang, 2016）的定義，對稱矩陣的代數性質是實内積空間理論的基礎。斯坦福大學線性代數課程進一步指出，對稱矩陣的正交對角化特性是解決偏微分方程和優化問題的關鍵工具。

網絡擴展解釋

對稱矩陣是線性代數中一類重要的方陣，其核心特征是矩陣與其轉置矩陣相等。以下是詳細解釋：

定義對稱矩陣滿足$A = A^T$，即矩陣元素關于主對角線對稱。數學表達式為： $$ a{ij} = a{ji} quad (forall i,j) $$ 例如一個3階對稱矩陣形式為： $$ begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 2 & 4 & 5 3 & 5 & 6 end{bmatrix} $$
核心性質

所有特征值都是實數
對應不同特征值的特征向量正交
可通過正交矩陣對角化：存在正交矩陣$Q$使得$Q^TAQ = D$（對角矩陣）

應用領域

力學中的慣性張量
計算機圖形學的變換矩陣
統計學中的協方差矩陣
量子力學的哈密頓算符表示

特殊類型

正定對稱矩陣：所有特征值>0
對角矩陣：特殊的對稱矩陣
零矩陣：滿足對稱性的平凡情況

對稱矩陣的重要性體現在其良好的數學性質（如實特征值、正交對角化）使其成為工程計算和理論分析中的重要工具。在機器學習中，協方差矩陣的對稱性保證了主成分分析的有效性；在結構力學中，材料剛度矩陣的對稱性反映了能量守恒定律。