对称矩阵英文解释翻译、对称矩阵的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 symmetric matrix

分词翻译：

对称的英语翻译：

symmetry
【化】 symmetry
【医】 symmetry

矩阵的英语翻译：

matrix
【计】 matrix
【化】 matrix
【经】 matrices; matrix

专业解析

对称矩阵（Symmetric Matrix）是线性代数中的核心概念，指其转置矩阵等于自身的方阵，即满足条件$A = A^T$，其中$A^T$表示矩阵$A$的转置。从汉英词典角度，其英文术语强调“对称性”（symmetry）与“矩阵结构”（matrix structure）的结合，广泛应用于物理、工程和计算机科学等领域。

1. 数学定义与性质

对称矩阵的每个元素满足$a{ij} = a{ji}$，主对角线两侧元素镜像对称。例如，一个3阶对称矩阵可表示为：

begin{bmatrix}

a & b & c

b & d & e

c & e & f

end{bmatrix}

其核心性质包括：

特征值均为实数，且特征向量正交；
可通过正交矩阵对角化，即$A = PDP^T$（$P$为正交矩阵，$D$为对角矩阵）；
二次型分析中，对称矩阵对应实二次型的正定、半正定等性质。

2. 应用场景与实例

在工程力学中，对称矩阵用于描述材料应力-应变关系；在计算机图形学中，协方差矩阵（对称矩阵）被用于主成分分析（PCA）以降低数据维度。例如，图像处理中的人脸识别技术常依赖对称矩阵的特征分解实现高效计算。

3. 学术参考与权威来源

根据《线性代数及其应用》（Gilbert Strang, 2016）的定义，对称矩阵的代数性质是实内积空间理论的基础。斯坦福大学线性代数课程进一步指出，对称矩阵的正交对角化特性是解决偏微分方程和优化问题的关键工具。

网络扩展解释

对称矩阵是线性代数中一类重要的方阵，其核心特征是矩阵与其转置矩阵相等。以下是详细解释：

定义对称矩阵满足$A = A^T$，即矩阵元素关于主对角线对称。数学表达式为： $$ a{ij} = a{ji} quad (forall i,j) $$ 例如一个3阶对称矩阵形式为： $$ begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 2 & 4 & 5 3 & 5 & 6 end{bmatrix} $$
核心性质

所有特征值都是实数
对应不同特征值的特征向量正交
可通过正交矩阵对角化：存在正交矩阵$Q$使得$Q^TAQ = D$（对角矩阵）

应用领域

力学中的惯性张量
计算机图形学的变换矩阵
统计学中的协方差矩阵
量子力学的哈密顿算符表示

特殊类型

正定对称矩阵：所有特征值>0
对角矩阵：特殊的对称矩阵
零矩阵：满足对称性的平凡情况

对称矩阵的重要性体现在其良好的数学性质（如实特征值、正交对角化）使其成为工程计算和理论分析中的重要工具。在机器学习中，协方差矩阵的对称性保证了主成分分析的有效性；在结构力学中，材料刚度矩阵的对称性反映了能量守恒定律。