常微分方程英文解釋翻譯、常微分方程的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 ordinary differential equation

constant; frequent; ordinary

【計】 differential equation

常微分方程（Ordinary Differential Equation, ODE）是數學分析中的一個核心概念，指包含一個自變量、一個未知函數及其導數的關系式。其中“常”字強調方程中的未知函數僅依賴于一個自變量，區别于涉及多個自變量的偏微分方程（PDE）。

數學形式：常微分方程的标準形式可表示為： $$ Fleft(x, y, frac{dy}{dx}, frac{dy}{dx}, ldots, frac{d^ny}{dx^n}right) = 0 $$ 其中：
- $x$ 是自變量（Independent variable）。
- $y$ 是未知函數（Dependent variable），即需要求解的函數 $y(x)$。
- $frac{dy}{dx}, frac{dy}{dx}, ldots, frac{d^ny}{dx^n}$ 是函數 $y$ 關于 $x$ 的一階、二階直至 $n$ 階導數（Derivatives）。
- $n$ 是方程中出現的最高階導數的階數，稱為方程的階（Order）。
- $F$ 是給定的函數關系。
典型示例：
- 一階線性方程：$frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ （例如描述放射性衰變或RC電路）
- 二階線性常系數齊次方程：$frac{dy}{dx} + afrac{dy}{dx} + by = 0$ （例如描述彈簧-質量系統的自由振動）
- 牛頓第二定律：$mfrac{dx}{dt} = F(t, x, frac{dx}{dt})$ （描述物體運動）

自變量與因變量：
- 自變量 (Independent variable)：通常是時間 ($t$)、空間位置 ($x$)，其變化是獨立的。
- 因變量/未知函數 (Dependent variable/Unknown function)：如 $y(x)$ 或 $y(t)$，其值依賴于自變量，是需要求解的目标。
導數 (Derivatives)：表示未知函數相對于自變量的變化率（一階導）、曲率或加速度（二階導）等。方程建立了未知函數及其各階導數之間的關系。
階 (Order)：方程中出現的最高階導數的階數決定了方程的階。$n$ 階方程的一般解通常包含 $n$ 個獨立的任意常數。
解 (Solution)：滿足方程的（可微）函數稱為常微分方程的解。包含所有任意常數的解稱為通解 (General solution)；根據特定附加條件（如初始值）确定通解中常數後得到的解稱為特解 (Particular solution)。

常微分方程是描述自然界和工程中動态系統演化規律的基礎工具，應用極其廣泛：

《數學物理方法》 (Methods of Mathematical Physics) by Courant & Hilbert：經典教材，深入闡述微分方程理論基礎。
美國數學學會 (AMS) - ODE 詞條：提供嚴謹的數學定義和分類：https://www.ams.org/
Wolfram MathWorld - Ordinary Differential Equation：詳盡的數學百科解釋與示例：https://mathworld.wolfram.com/
Khan Academy - Differential Equations：提供直觀的教學視頻和練習：https://www.khanacademy.org/

常微分方程（Ordinary Differential Equation，簡稱ODE）是數學中研究含有一個自變量的未知函數及其導數的方程。其核心特征是方程中僅涉及單一自變量的函數關系，區别于涉及多個自變量的偏微分方程（PDE）。

一般形式
常微分方程可表示為：
$$ Fleft(x, y, y', y'', dots, y^{(n)}right) = 0 $$
其中 ( y = y(x) ) 是未知函數，( x ) 是自變量，( y^{(n)} ) 表示 ( y ) 的 ( n ) 階導數。
階數
方程中最高階導數的階數稱為方程的階。例如：
- 一階方程：( y' + y = 0 )
- 二階方程：( y'' + 2y' + y = e^x )
線性與非線性
- 線性ODE：方程關于 ( y ) 及其導數均為一次項，例如 ( y'' + p(x)y' + q(x)y = g(x) )。
- 非線性ODE：包含 ( y ) 或其導數的高次項、乘積項等，例如 ( y'' + y = 0 )。

常微分方程廣泛用于描述自然規律，例如：

根據皮卡-林德洛夫定理，若函數及其偏導數在某一區域連續，則一階ODE的初值問題在該區域内存在唯一解。