對稱函數英文解釋翻譯、對稱函數的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 symmetric function

分詞翻譯：

對稱的英語翻譯：

symmetry
【化】 symmetry
【醫】 symmetry

函數的英語翻譯：

function
【計】 F; FUNC; function

專業解析

對稱函數（Symmetric Function）的漢英詞典釋義與詳解

在數學領域，對稱函數（Symmetric Function）指一類具有特定對稱性質的函數。其核心特征在于：函數值不隨自變量的排列順序改變而變化。具體釋義如下：

定義與核心特性
設函數 ( f(x_1, x_2, ldots, xn) ) 定義在 ( n ) 個變量上。若對變量的任意排列（即置換）( sigma )，均有： $$ f(x{sigma(1)}, x{sigma(2)}, ldots, x{sigma(n)}) = f(x_1, x_2, ldots, x_n) $$ 則該函數稱為對稱函數。其輸出值僅依賴于變量的取值集合，而與輸入順序無關。
典型示例
- 初等對稱多項式（Elementary Symmetric Polynomials）：如二元情況下的 ( e_1 = x_1 + x_2 )，( e_2 = x_1 x_2 )；三元情況下的 ( e_1 = x_1 + x_2 + x_3 )，( e_2 = x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 )，( e_3 = x_1x_2x_3 )。這些是構成對稱函數理論的基礎。
- 幂和函數（Power Sum Symmetric Functions）：定義為 ( p_k = x_1^k + x_2^k + ldots + x_n^k )。它們也是重要的對稱函數。
- 對稱多項式：所有系數對稱的多項式函數均屬此類，例如 ( x + y + z + xy + xz + yz )。
應用領域
對稱函數理論在代數學、組合數學、表示論和數學物理中有廣泛應用。例如：
- 用于描述多項式的根與系數的關系（Vieta公式）。
- 在對稱群的表示理論中扮演核心角色。
- 應用于代數組合學中的舒爾函數（Schur functions）研究。
- 在密碼學和編碼理論中也有相關應用。
補充說明
“對稱函數”常特指定義在無限多個變量上、或形式幂級數意義上的對稱函數（如對稱函數的環結構）。但在初等語境下，多指有限變量的對稱多項式函數。與之相關的概念是“斜對稱函數”（Antisymmetric Function），其在變量置換下會産生符號變化。

參考資料來源：

Encyclopedia of Mathematics - Symmetric Function (https://encyclopediaofmath.org/wiki/Symmetric_function)
Wolfram MathWorld - Symmetric Function (https://mathworld.wolfram.com/SymmetricFunction.html)
(注：鍊接基于知識庫中權威數學資源生成，若失效可通過标題在相應網站檢索)

網絡擴展解釋

對稱函數是數學中一類在變量置換下保持形式不變的函數。以下從定義、類型和應用角度進行詳細解釋：

一、定義

對稱函數指對于多個變量 (x_1, x_2, ldots, x_n) 的函數 (f(x_1, x_2, ldots, x_n))，若任意交換變量的位置後函數表達式不變，即滿足： $$ f(x_1, x_2, ldots, xn) = f(x{sigma(1)}, x{sigma(2)}, ldots, x{sigma(n)}) $$ 其中 (sigma) 是變量下标的重排列（屬于對稱群 (S_n) 的元素），則該函數稱為對稱函數。

二、典型類型

初等對稱函數
由變量中不同變量的乘積構成，例如三變量的初等對稱函數為：
- (e_1 = x_1 + x_2 + x_3)
- (e_2 = x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3)
- (e_3 = x_1x_2x_3)
完全對稱函數
包含所有可能的單項式之和，例如兩變量的完全對稱函數： $$ h_k(x_1, x2) = sum{i+j=k} x_1^i x_2^j $$
幂和對稱函數
以變量幂次形式表示，如 (p_k = x_1^k + x_2^k + cdots + x_n^k)。

三、數學意義與應用

代數基本定理
任何對稱多項式均可唯一表示為初等對稱多項式的組合。例如，(x + y = (x+y) - 2xy)。
組合與物理
在組合數學中，對稱函數用于計數問題；在量子力學中，全同粒子的波函數需滿足對稱性或反對稱性。

四、與非對稱函數的區别

非對稱函數在變量交換後值會改變，例如 (f(x,y)=x-y) 交換變量後變為 (f(y,x)=y-x = -f(x,y))，不滿足對稱性。

對稱函數的研究貫穿代數、組合學、表示論等領域，是描述對稱現象的核心工具。