对称函数英文解释翻译、对称函数的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 symmetric function

分词翻译：

对称的英语翻译：

symmetry
【化】 symmetry
【医】 symmetry

函数的英语翻译：

function
【计】 F; FUNC; function

专业解析

对称函数（Symmetric Function）的汉英词典释义与详解

在数学领域，对称函数（Symmetric Function）指一类具有特定对称性质的函数。其核心特征在于：函数值不随自变量的排列顺序改变而变化。具体释义如下：

定义与核心特性
设函数 ( f(x_1, x_2, ldots, xn) ) 定义在 ( n ) 个变量上。若对变量的任意排列（即置换）( sigma )，均有： $$ f(x{sigma(1)}, x{sigma(2)}, ldots, x{sigma(n)}) = f(x_1, x_2, ldots, x_n) $$ 则该函数称为对称函数。其输出值仅依赖于变量的取值集合，而与输入顺序无关。
典型示例
- 初等对称多项式（Elementary Symmetric Polynomials）：如二元情况下的 ( e_1 = x_1 + x_2 )，( e_2 = x_1 x_2 )；三元情况下的 ( e_1 = x_1 + x_2 + x_3 )，( e_2 = x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 )，( e_3 = x_1x_2x_3 )。这些是构成对称函数理论的基础。
- 幂和函数（Power Sum Symmetric Functions）：定义为 ( p_k = x_1^k + x_2^k + ldots + x_n^k )。它们也是重要的对称函数。
- 对称多项式：所有系数对称的多项式函数均属此类，例如 ( x + y + z + xy + xz + yz )。
应用领域
对称函数理论在代数学、组合数学、表示论和数学物理中有广泛应用。例如：
- 用于描述多项式的根与系数的关系（Vieta公式）。
- 在对称群的表示理论中扮演核心角色。
- 应用于代数组合学中的舒尔函数（Schur functions）研究。
- 在密码学和编码理论中也有相关应用。
补充说明
“对称函数”常特指定义在无限多个变量上、或形式幂级数意义上的对称函数（如对称函数的环结构）。但在初等语境下，多指有限变量的对称多项式函数。与之相关的概念是“斜对称函数”（Antisymmetric Function），其在变量置换下会产生符号变化。

参考资料来源：

Encyclopedia of Mathematics - Symmetric Function (https://encyclopediaofmath.org/wiki/Symmetric_function)
Wolfram MathWorld - Symmetric Function (https://mathworld.wolfram.com/SymmetricFunction.html)
(注：链接基于知识库中权威数学资源生成，若失效可通过标题在相应网站检索)

网络扩展解释

对称函数是数学中一类在变量置换下保持形式不变的函数。以下从定义、类型和应用角度进行详细解释：

一、定义

对称函数指对于多个变量 (x_1, x_2, ldots, x_n) 的函数 (f(x_1, x_2, ldots, x_n))，若任意交换变量的位置后函数表达式不变，即满足： $$ f(x_1, x_2, ldots, xn) = f(x{sigma(1)}, x{sigma(2)}, ldots, x{sigma(n)}) $$ 其中 (sigma) 是变量下标的重排列（属于对称群 (S_n) 的元素），则该函数称为对称函数。

二、典型类型

初等对称函数
由变量中不同变量的乘积构成，例如三变量的初等对称函数为：
- (e_1 = x_1 + x_2 + x_3)
- (e_2 = x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3)
- (e_3 = x_1x_2x_3)
完全对称函数
包含所有可能的单项式之和，例如两变量的完全对称函数： $$ h_k(x_1, x2) = sum{i+j=k} x_1^i x_2^j $$
幂和对称函数
以变量幂次形式表示，如 (p_k = x_1^k + x_2^k + cdots + x_n^k)。

三、数学意义与应用

代数基本定理
任何对称多项式均可唯一表示为初等对称多项式的组合。例如，(x + y = (x+y) - 2xy)。
组合与物理
在组合数学中，对称函数用于计数问题；在量子力学中，全同粒子的波函数需满足对称性或反对称性。

四、与非对称函数的区别

非对称函数在变量交换后值会改变，例如 (f(x,y)=x-y) 交换变量后变为 (f(y,x)=y-x = -f(x,y))，不满足对称性。

对称函数的研究贯穿代数、组合学、表示论等领域，是描述对称现象的核心工具。