歐拉公式英文解釋翻譯、歐拉公式的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 Euler's formula

【計】 EULER

formula
【計】 formula; transition formula entry
【化】 equation
【醫】 F.; formula

歐拉公式（Euler's formula）是數學分析領域的核心定理之一，其标準形式為

e^{itheta} = costheta + isintheta

當角度$theta = pi$時，公式可簡化為$e^{ipi} + 1 = 0$，這一形式因融合了自然對數底$e$、虛數單位$i$、圓周率$pi$以及基本常數0和1，被譽為“數學中最美的方程”。

在漢英詞典中，“歐拉公式”對應“Euler's formula”，“複數指數形式”譯為“complex exponential form”。公式揭示了複數平面上指數函數與三角函數的等價關系，其核心思想是将複數表示為極坐标形式，即模長$r$和輻角$theta$的組合。

公式的幾何意義在于将複數$e^{itheta}$映射為單位圓上的點，其實部為$costheta$，虛部為$sintheta$。這種表示方法為波動理論、量子力學中的相位分析提供了直觀工具。

該公式由瑞士數學家萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）于1748年首次系統闡述，但其思想可追溯至英國數學家羅傑·科茨（Roger Cotes）對複對數的研究。

參考來源：

歐拉公式是數學中一個極為重要的公式，其标準形式為：

$$ e^{itheta} = costheta + isintheta $$

其中：

複數與三角函數的橋梁
公式将複數指數函數與三角函數直接關聯，揭示了複數在極坐标系下的表示方式。例如，當 ( theta = pi ) 時，公式簡化為著名的歐拉恒等式： $$ e^{ipi} + 1 = 0 $$ 這一等式融合了數學中5個基本常數（( 0, 1, e, i, pi )），被稱為“數學中最美的公式”。
幾何解釋
在複平面上，( e^{itheta} ) 表示單位圓上角度為 ( theta ) 的點，其模長為1，幅角為 ( theta )。這解釋了複數指數函數的周期性（周期為 ( 2pi )）。
應用領域
- 信號處理：用于傅裡葉變換，将信號分解為頻率分量。
- 量子力學：描述波函數的相位變化。
- 電路分析：簡化交流電路中阻抗的計算。

通過泰勒展開可直觀推導：

( e^{itheta} ) 的展開式為 ( 1 + itheta - frac{theta}{2!} - ifrac{theta}{3!} + cdots )；
将其分離為實部和虛部，分别對應 ( costheta ) 和 ( sintheta ) 的泰勒級數。

廣義歐拉公式可推廣為： $$ e^{z} = e^{a+ib} = e^a (cos b + isin b) $$ 其中 ( z = a + ib ) 為任意複數，進一步擴展了指數函數在複平面的定義。