欧拉公式英文解释翻译、欧拉公式的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 Euler's formula

【计】 EULER

formula
【计】 formula; transition formula entry
【化】 equation
【医】 F.; formula

欧拉公式（Euler's formula）是数学分析领域的核心定理之一，其标准形式为

e^{itheta} = costheta + isintheta

当角度$theta = pi$时，公式可简化为$e^{ipi} + 1 = 0$，这一形式因融合了自然对数底$e$、虚数单位$i$、圆周率$pi$以及基本常数0和1，被誉为“数学中最美的方程”。

在汉英词典中，“欧拉公式”对应“Euler's formula”，“复数指数形式”译为“complex exponential form”。公式揭示了复数平面上指数函数与三角函数的等价关系，其核心思想是将复数表示为极坐标形式，即模长$r$和辐角$theta$的组合。

公式的几何意义在于将复数$e^{itheta}$映射为单位圆上的点，其实部为$costheta$，虚部为$sintheta$。这种表示方法为波动理论、量子力学中的相位分析提供了直观工具。

该公式由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）于1748年首次系统阐述，但其思想可追溯至英国数学家罗杰·科茨（Roger Cotes）对复对数的研究。

参考来源：

欧拉公式是数学中一个极为重要的公式，其标准形式为：

$$ e^{itheta} = costheta + isintheta $$

其中：

复数与三角函数的桥梁
公式将复数指数函数与三角函数直接关联，揭示了复数在极坐标系下的表示方式。例如，当 ( theta = pi ) 时，公式简化为著名的欧拉恒等式： $$ e^{ipi} + 1 = 0 $$ 这一等式融合了数学中5个基本常数（( 0, 1, e, i, pi )），被称为“数学中最美的公式”。
几何解释
在复平面上，( e^{itheta} ) 表示单位圆上角度为 ( theta ) 的点，其模长为1，幅角为 ( theta )。这解释了复数指数函数的周期性（周期为 ( 2pi )）。
应用领域
- 信号处理：用于傅里叶变换，将信号分解为频率分量。
- 量子力学：描述波函数的相位变化。
- 电路分析：简化交流电路中阻抗的计算。

通过泰勒展开可直观推导：

( e^{itheta} ) 的展开式为 ( 1 + itheta - frac{theta}{2!} - ifrac{theta}{3!} + cdots )；
将其分离为实部和虚部，分别对应 ( costheta ) 和 ( sintheta ) 的泰勒级数。

广义欧拉公式可推广为： $$ e^{z} = e^{a+ib} = e^a (cos b + isin b) $$ 其中 ( z = a + ib ) 为任意复数，进一步扩展了指数函数在复平面的定义。