非齊次方程英文解釋翻譯、非齊次方程的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 inhomogeneous equation

分詞翻譯：

非的英語翻譯：

blame; evildoing; have to; non-; not; wrong
【計】 negate; NOT; not that
【醫】 non-

齊的英語翻譯：

all ready; neat; similar; simultaneously; together; uniform
【醫】 trans-

次的英語翻譯：

order; second; second-rate
【醫】 deutero-; deuto-; hyp-; hypo-; meta-; sub-

方程的英語翻譯：

equation

專業解析

在數學領域，特别是微分方程和線性代數中，“非齊次方程”是一個核心概念。以下從漢英詞典角度對其含義進行詳細解釋：

一、基本定義

中文術語：非齊次方程
英文術語： Nonhomogeneous Equation (或 Inhomogeneous Equation)
核心含義：指一個線性方程（常微分方程、偏微分方程或線性代數方程組）中，包含不等于零的自由項（或稱非齊次項、源項或驅動項）。這個自由項使得方程的解不能僅由齊次解（滿足對應齊次方程的解）構成，還需要一個特定的“特解”來滿足非零項的要求。
- 關鍵對比：與其相對的是“齊次方程”，其自由項恒等于零。

二、數學形式與結構非齊次方程的一般形式可表示為： $$ L[y] = f(x) $$ 其中：

$L$ 是一個線性微分算子（例如，對于二階常微分方程，$L[y] = a(x)frac{dy}{dx} + b(x)frac{dy}{dx} + c(x)y$）。
$y$ 是未知函數。
$f(x)$ 是已知函數，稱為非齊次項或源項。
核心特征： $f(x) otequiv 0$ (即 $f(x)$ 不恒等于零)。

三、解的結構定理非齊次線性方程的解具有非常重要的結構特性： $$ y_{text{general}} = y_h + y_p $$ 其中：

$y_{text{general}}$：非齊次方程的通解。
$y_h$：對應齊次方程 $L[y] = 0$ 的通解（稱為齊次解或補函數）。
$y_p$：原非齊次方程 $L[y] = f(x)$ 的任何一個特解（稱為特解）。這個定理表明，求解非齊次方程的關鍵步驟是：

求解對應的齊次方程 $L[y] = 0$，得到齊次通解 $y_h$。
尋找非齊次方程的一個特解 $y_p$。
将兩者相加得到非齊次方程的通解 $y_{text{general}}$。

四、物理意義與應用非齊次項 $f(x)$ 通常代表了系統受到的外部影響或輸入：

在物理系統中：可能代表外力（力學）、電荷源或電流源（電磁學）、熱源（熱傳導）等。
在工程系統中：可能代表控制輸入、幹擾信號等。因此，非齊次方程廣泛用于建模受外部激勵或驅動的系統。

五、求解方法尋找特解 $y_p$ 的方法取決于非齊次項 $f(x)$ 的形式和方程的系數：

待定系數法：適用于 $f(x)$ 是多項式、指數函數、正弦/餘弦函數或它們的組合，且方程是常系數線性微分方程。
常數變易法：適用于變系數線性微分方程，或當待定系數法不適用時。
格林函數法：用于求解具有特定邊界條件的非齊次偏微分方程。
積分變換法：如拉普拉斯變換或傅裡葉變換，常用于求解常系數線性微分方程（特别是初值問題）。

來源參考：

Khan Academy - Differential Equations: 提供關于齊次與非齊次微分方程的清晰講解和示例。 (https://www.khanacademy.org/math/differential-equations)
Paul's Online Math Notes - Differential Equations: 包含對非齊次二階常微分方程解的結構和求解方法（待定系數法、參數變易法）的詳細論述和大量例題。 (https://tutorial.math.lamar.edu/Classes/DE/DE.aspx)
MIT OpenCourseWare - Linear Algebra: Gilbert Strang 教授的課程材料深入講解了線性代數中齊次和非齊次線性方程組（$Amathbf{x} = mathbf{b}$）的解的結構（解空間、特解、通解）。 (https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2010/)
Wolfram MathWorld - Nonhomogeneous Linear Ordinary Differential Equation: 提供嚴謹的數學定義和公式。 (https://mathworld.wolfram.com/NonhomogeneousLinearOrdinaryDifferentialEquation.html)

網絡擴展解釋

非齊次方程是數學中常見的一類方程，其核心特征是方程中包含非零的常數項或特定函數項。它在微分方程、線性代數等領域有廣泛應用。以下是詳細解釋：

1. 基本定義

非齊次方程是相對于齊次方程而言的：

齊次方程：所有項均為未知函數或其導數的線性組合，且等式右邊為零。
示例：$y'' + p(x)y' + q(x)y = 0$。
非齊次方程：方程右側包含一個非零項（常數或函數），形式為：
$$Ly = f(x)$$
其中 $L$ 是線性微分算子，$f(x) eq 0$。

2. 常見類型

（1）微分方程中的非齊次方程

一階線性方程：
$$y' + P(x)y = Q(x) quad (Q(x) eq 0)$$
高階線性方程：
$$y^{(n)} + a_{n-1}(x)y^{(n-1)} + dots + a_0(x)y = f(x)$$

（2）線性代數中的非齊次方程組

形式為 $Amathbf{x} = mathbf{b}$，其中 $mathbf{b} eq mathbf{0}$，$A$ 是系數矩陣。

3. 解的結構

非齊次方程的解由兩部分疊加組成：

齊次解：對應齊次方程 $Ly = 0$ 的通解 $y_h$。
特解：非齊次方程的一個特解 $y_p$。
通解形式：
$$y = y_h + y_p$$

4. 解法示例（以微分方程為例）

步驟1：求齊次解

解齊次方程 $y'' + y = 0$，其特征方程為 $r + 1 = 0$，得通解：
$$y_h = C_1 cos x + C_2 sin x$$

步驟2：求特解

假設原方程為 $y'' + y = sin x$，根據非齊次項 $sin x$ 的形式，假設特解為：
$$y_p = x(A cos x + B sin x)$$
通過代入原方程并比較系數，确定 $A$ 和 $B$，最終得到特解。

5. 實際意義

非齊次方程常用于描述受外部激勵的系統，例如：

電路中的強迫振蕩（非齊次項代表外部電壓源）。
機械振動中受外力作用的系統。

非齊次方程的核心特點是存在非零的“驅動項” $f(x)$，其解需要結合齊次解和特解。理解這類方程對分析物理、工程等實際問題至關重要。