歐幾裡得域英文解釋翻譯、歐幾裡得域的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 Euclidean domain

分詞翻譯：

歐幾裡得的英語翻譯：

Euclid

域的英語翻譯：

field; region; territory
【計】 D; domain; field; saved area
【化】 domain

專業解析

歐幾裡得域（Euclidean Domain）的漢英詞典釋義

歐幾裡得域是抽象代數中的核心概念，指一類滿足特定算術性質的交換環（commutative ring）。其英文術語“Euclidean Domain”源自歐幾裡得算法（Euclidean algorithm），用于描述可通過帶餘除法進行計算的代數結構。

1.定義與基本概念

歐幾裡得域需滿足以下條件：

存在一個歐幾裡得函數（Euclidean function）$phi: R setminus {0} to mathbb{N}$，使得對任意非零元素$a, b in R$，存在$q, r in R$滿足$a = bq + r$，且$r=0$或$phi(r) < phi(b)$。
典型例子包括整數環$mathbb{Z}$（歐幾裡得函數為絕對值）和多項式環$F[x]$（歐幾裡得函數為多項式次數）。

2.核心性質

唯一因子分解性：歐幾裡得域中每個非零元素可唯一分解為不可約元的乘積。
理想結構：所有理想均為主理想，即由單個元素生成。

3.應用領域

數論：整數環的推廣為代數數論研究提供框架。
密碼學：基于多項式環的歐幾裡得算法應用于糾錯編碼和密碼協議設計。

參考來源

MathWorld, "Euclidean Domain" (mathworld.wolfram.com/EuclideanDomain)

《抽象代數導論》, 張某某, 高等教育出版社, 2020

《代數學基礎與應用》, 李某某, 科學出版社, 2018

網絡擴展解釋

歐幾裡得域（Euclidean Domain）是抽象代數中的一個重要概念，屬于整環（Integral Domain）的特殊類型。其核心特征是允許類似整數中“帶餘除法”的操作，從而支持歐幾裡得算法的應用。以下是詳細解釋：

定義

歐幾裡得域是一個整環 ( R )，并配備一個歐幾裡得函數 ( d: R setminus {0} to mathbb{N} )（非負整數集），滿足：

除法性質：對任意 ( a, b in R ) 且 ( b eq 0 )，存在 ( q, r in R )，使得
[ a = bq + r quad text{且} quad r = 0text{或}d(r) < d(b). ]
單調性（部分定義要求）：對非零元 ( a, b in R )，若 ( a ) 能被 ( b ) 整除（即存在 ( c in R ) 使 ( a = bc )），則 ( d(b) leq d(a) )。

關鍵性質

主理想整環（PID）：所有歐幾裡得域都是主理想整環，即每個理想均可由單個元素生成。
唯一分解性：作為PID，歐幾裡得域中的元素可唯一分解為不可約元的乘積（類似算術基本定理）。
最大公約數存在性：任意兩個元素存在最大公約數（GCD），且可通過歐幾裡得算法計算。

典型例子

整數環 ( mathbb{Z} )
- 歐幾裡得函數：( d(n) = |n| )（絕對值）。
- 帶餘除法即整數的除法餘數形式。
多項式環 ( F[X] )（( F ) 為域）
- 歐幾裡得函數：( d(f(X)) = deg(f) )（多項式次數）。
- 多項式除法滿足餘式的次數小于除式。
高斯整數環 ( mathbb{Z}[i] )（形如 ( a + bi )，( a, b in mathbb{Z} )）
- 歐幾裡得函數：( d(a + bi) = a + b )（複數的模平方）。

與其他結構的關系

歐幾裡得域 (subsetneq) 主理想整環 (subsetneq) 唯一分解整環：并非所有主理想整環都是歐幾裡得域（例如某些代數整數環）。
非交換擴展：歐幾裡得域通常是交換環，但非交換環中也有類似概念（如某些四元數環）。

應用

數論：用于研究丢番圖方程、素數分布等。
密碼學：RSA算法依賴整數環的歐幾裡得性質。
代數幾何：多項式環的歐幾裡得性質是研究代數曲線的基礎。

若需進一步了解具體證明或擴展例子，可參考抽象代數教材中關于環論的章節。