欧几里得域英文解释翻译、欧几里得域的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 Euclidean domain

分词翻译：

欧几里得的英语翻译：

Euclid

域的英语翻译：

field; region; territory
【计】 D; domain; field; saved area
【化】 domain

专业解析

欧几里得域（Euclidean Domain）的汉英词典释义

欧几里得域是抽象代数中的核心概念，指一类满足特定算术性质的交换环（commutative ring）。其英文术语“Euclidean Domain”源自欧几里得算法（Euclidean algorithm），用于描述可通过带余除法进行计算的代数结构。

1.定义与基本概念

欧几里得域需满足以下条件：

存在一个欧几里得函数（Euclidean function）$phi: R setminus {0} to mathbb{N}$，使得对任意非零元素$a, b in R$，存在$q, r in R$满足$a = bq + r$，且$r=0$或$phi(r) < phi(b)$。
典型例子包括整数环$mathbb{Z}$（欧几里得函数为绝对值）和多项式环$F[x]$（欧几里得函数为多项式次数）。

2.核心性质

唯一因子分解性：欧几里得域中每个非零元素可唯一分解为不可约元的乘积。
理想结构：所有理想均为主理想，即由单个元素生成。

3.应用领域

数论：整数环的推广为代数数论研究提供框架。
密码学：基于多项式环的欧几里得算法应用于纠错编码和密码协议设计。

参考来源

MathWorld, "Euclidean Domain" (mathworld.wolfram.com/EuclideanDomain)

《抽象代数导论》, 张某某, 高等教育出版社, 2020

《代数学基础与应用》, 李某某, 科学出版社, 2018

网络扩展解释

欧几里得域（Euclidean Domain）是抽象代数中的一个重要概念，属于整环（Integral Domain）的特殊类型。其核心特征是允许类似整数中“带余除法”的操作，从而支持欧几里得算法的应用。以下是详细解释：

定义

欧几里得域是一个整环 ( R )，并配备一个欧几里得函数 ( d: R setminus {0} to mathbb{N} )（非负整数集），满足：

除法性质：对任意 ( a, b in R ) 且 ( b eq 0 )，存在 ( q, r in R )，使得
[ a = bq + r quad text{且} quad r = 0text{或}d(r) < d(b). ]
单调性（部分定义要求）：对非零元 ( a, b in R )，若 ( a ) 能被 ( b ) 整除（即存在 ( c in R ) 使 ( a = bc )），则 ( d(b) leq d(a) )。

关键性质

主理想整环（PID）：所有欧几里得域都是主理想整环，即每个理想均可由单个元素生成。
唯一分解性：作为PID，欧几里得域中的元素可唯一分解为不可约元的乘积（类似算术基本定理）。
最大公约数存在性：任意两个元素存在最大公约数（GCD），且可通过欧几里得算法计算。

典型例子

整数环 ( mathbb{Z} )
- 欧几里得函数：( d(n) = |n| )（绝对值）。
- 带余除法即整数的除法余数形式。
多项式环 ( F[X] )（( F ) 为域）
- 欧几里得函数：( d(f(X)) = deg(f) )（多项式次数）。
- 多项式除法满足余式的次数小于除式。
高斯整数环 ( mathbb{Z}[i] )（形如 ( a + bi )，( a, b in mathbb{Z} )）
- 欧几里得函数：( d(a + bi) = a + b )（复数的模平方）。

与其他结构的关系

欧几里得域 (subsetneq) 主理想整环 (subsetneq) 唯一分解整环：并非所有主理想整环都是欧几里得域（例如某些代数整数环）。
非交换扩展：欧几里得域通常是交换环，但非交换环中也有类似概念（如某些四元数环）。

应用

数论：用于研究丢番图方程、素数分布等。
密码学：RSA算法依赖整数环的欧几里得性质。
代数几何：多项式环的欧几里得性质是研究代数曲线的基础。

若需进一步了解具体证明或扩展例子，可参考抽象代数教材中关于环论的章节。