逆疊代算法英文解釋翻譯、逆疊代算法的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 reciprocal iteration algorithm

分詞翻譯：

逆的英語翻譯：

athwart; contradictorily; counter; disobey; go against; inverse
【醫】 contra-

疊代算法的英語翻譯：

【計】 iterated algorithm; iterative algorithm

專業解析

逆疊代算法（Inverse Iteration Algorithm）是一種數值線性代數方法，主要用于求解矩陣的特定特征值及對應的特征向量。其核心思想是通過疊代逼近矩陣的某個特征值，尤其適用于計算靠近給定初始猜測的特征值。以下從漢英對照與工程數學角度詳細闡釋：

定義與數學原理
逆疊代算法的數學表達式為：

$$ (A - mu I) x_{k+1} = x_k $$

其中，$A$為待分析矩陣，$mu$是目标特征值的初始估計，$I$是單位矩陣，$xk$為疊代向量。通過不斷解線性方程組并歸一化$x{k+1}$，算法逐步逼近與$mu$最接近的特征值$lambda$及對應特征向量。英文術語中，該算法也稱為Inverse Power Method，其收斂速度取決于$mu$與真實特征值的接近程度。
核心優勢與應用場景
- 高精度計算：當$mu$接近真實特征值時，逆疊代法可快速收斂，尤其適用于求解稀疏矩陣的最小模特征值（如結構力學中的固有頻率分析）。
- 穩定性：結合位移技術（Shift-invert），算法能有效處理病态矩陣問題，例如在有限元分析中修正剛度矩陣的奇異性。
算法步驟（中英對照）
- 步驟1：選擇初始向量 $x_0$ 和位移量 $mu$
  Step 1: Choose initial vector $x_0$ and shift $mu$
- 步驟2：解線性方程組 $(A - mu I) y = x_k$
  Step 2: Solve linear system $(A - mu I) y = x_k$
- 步驟3：歸一化 $x{k+1} = y / |y|$
  Step 3: Normalize $x{k+1} = y / |y|$
- 步驟4：計算瑞利商 $lambda{k+1} = x{k+1}^T A x{k+1}$
  Step 4: Compute Rayleigh quotient $lambda{k+1} = x{k+1}^T A x{k+1}$
參考文獻
- 來源1：MathWorld對逆疊代法的數學定義 Wolfram MathWorld
- 來源2：MIT線性代數課程講義 MIT OpenCourseWare
- 來源3：數值分析經典教材《Matrix Computations》第四版，Gene H. Golub著
- 來源4：IEEE計算科學期刊論文《Shift-invert Iterative Methods for Eigenvalue Problems》

網絡擴展解釋

逆疊代算法（Inverse Iteration）是數值線性代數中用于計算矩陣特征值和對應特征向量的一種疊代方法，尤其適用于已知特征值近似值後精确求解對應特征向量的場景。以下是其核心要點：

一、基本原理

核心思想
通過疊代公式 ( x_{k+1} = (A - sigma I)^{-1} x_k ) 逼近特征向量，其中：
- ( A ) 是目标矩陣；
- ( sigma ) 是已知特征值的近似值（稱為“移位量”）；
- 每次疊代需解線性方程組 ((A - sigma I)x_{k+1} = x_k)，而非顯式計算逆矩陣。
數學解釋
- 當 (sigma) 接近矩陣某特征值 (lambda) 時，( (A - sigma I)^{-1} ) 會放大與 (lambda) 對應的特征向量分量，使疊代快速收斂。

二、算法步驟

初始化：選擇初始向量 ( x_0 )（通常隨機生成），設定收斂阈值。
疊代過程：
- 解方程 ( (A - sigma I) y = x_k )，得到 ( y )；
- 歸一化 ( x_{k+1} = y / | y | )；
收斂判斷：當 ( | A x_k - lambda x_k | < epsilon ) 時停止（(lambda) 通過Rayleigh商估計）。

三、特點與應用

優點
- 對接近 (sigma) 的特征值收斂速度快；
- 結合移位策略可靈活定位不同特征值。
缺點
- 每次疊代需解線性方程組，計算成本較高；
- 若 (sigma) 與真實特征值偏差較大，收斂可能變慢。
典型應用
- 結構力學中振動模态分析；
- 改進特征值估計的精度（如配合Rayleigh商疊代）。

四、公式示例

特征值估計：通過Rayleigh商計算近似特征值： $$ lambda_k = frac{x_k^T A x_k}{x_k^T x_k} $$
收斂性：當 (sigma to lambda) 時，收斂速度滿足： $$ | x_{k+1} - v | = Oleft( left| frac{sigma - lambda}{sigma - mu} right|^k right) $$ 其中 (mu) 為次接近 (sigma) 的特征值。

五、擴展閱讀

若需深入理解，可參考數值線性代數教材（如《Matrix Computations》），或結合具體編程實現（如MATLAB的eigs函數）。