
【计】 reciprocal iteration algorithm
athwart; contradictorily; counter; disobey; go against; inverse
【医】 contra-
【计】 iterated algorithm; iterative algorithm
逆迭代算法(Inverse Iteration Algorithm)是一种数值线性代数方法,主要用于求解矩阵的特定特征值及对应的特征向量。其核心思想是通过迭代逼近矩阵的某个特征值,尤其适用于计算靠近给定初始猜测的特征值。以下从汉英对照与工程数学角度详细阐释:
定义与数学原理
逆迭代算法的数学表达式为:
$$ (A - mu I) x_{k+1} = x_k $$
其中,$A$为待分析矩阵,$mu$是目标特征值的初始估计,$I$是单位矩阵,$xk$为迭代向量。通过不断解线性方程组并归一化$x{k+1}$,算法逐步逼近与$mu$最接近的特征值$lambda$及对应特征向量。英文术语中,该算法也称为Inverse Power Method,其收敛速度取决于$mu$与真实特征值的接近程度。
核心优势与应用场景
算法步骤(中英对照)
Step 1: Choose initial vector $x_0$ and shift $mu$
Step 2: Solve linear system $(A - mu I) y = x_k$
Step 3: Normalize $x{k+1} = y / |y|$
Step 4: Compute Rayleigh quotient $lambda{k+1} = x{k+1}^T A x{k+1}$
参考文献
逆迭代算法(Inverse Iteration)是数值线性代数中用于计算矩阵特征值和对应特征向量的一种迭代方法,尤其适用于已知特征值近似值后精确求解对应特征向量的场景。以下是其核心要点:
核心思想
通过迭代公式 ( x_{k+1} = (A - sigma I)^{-1} x_k ) 逼近特征向量,其中:
数学解释
优点
缺点
典型应用
若需深入理解,可参考数值线性代数教材(如《Matrix Computations》),或结合具体编程实现(如MATLAB的eigs
函数)。
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