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逆迭代算法英文解释翻译、逆迭代算法的近义词、反义词、例句

英语翻译:

【计】 reciprocal iteration algorithm

分词翻译:

逆的英语翻译:

athwart; contradictorily; counter; disobey; go against; inverse
【医】 contra-

迭代算法的英语翻译:

【计】 iterated algorithm; iterative algorithm

专业解析

逆迭代算法(Inverse Iteration Algorithm)是一种数值线性代数方法,主要用于求解矩阵的特定特征值及对应的特征向量。其核心思想是通过迭代逼近矩阵的某个特征值,尤其适用于计算靠近给定初始猜测的特征值。以下从汉英对照与工程数学角度详细阐释:

  1. 定义与数学原理

    逆迭代算法的数学表达式为:

    $$ (A - mu I) x_{k+1} = x_k $$

    其中,$A$为待分析矩阵,$mu$是目标特征值的初始估计,$I$是单位矩阵,$xk$为迭代向量。通过不断解线性方程组并归一化$x{k+1}$,算法逐步逼近与$mu$最接近的特征值$lambda$及对应特征向量。英文术语中,该算法也称为Inverse Power Method,其收敛速度取决于$mu$与真实特征值的接近程度。

  2. 核心优势与应用场景

    • 高精度计算:当$mu$接近真实特征值时,逆迭代法可快速收敛,尤其适用于求解稀疏矩阵的最小模特征值(如结构力学中的固有频率分析)。
    • 稳定性:结合位移技术(Shift-invert),算法能有效处理病态矩阵问题,例如在有限元分析中修正刚度矩阵的奇异性。
  3. 算法步骤(中英对照)

    • 步骤1:选择初始向量 $x_0$ 和位移量 $mu$

      Step 1: Choose initial vector $x_0$ and shift $mu$

    • 步骤2:解线性方程组 $(A - mu I) y = x_k$

      Step 2: Solve linear system $(A - mu I) y = x_k$

    • 步骤3:归一化 $x{k+1} = y / |y|$

      Step 3: Normalize $x{k+1} = y / |y|$

    • 步骤4:计算瑞利商 $lambda{k+1} = x{k+1}^T A x{k+1}$

      Step 4: Compute Rayleigh quotient $lambda{k+1} = x{k+1}^T A x{k+1}$

  4. 参考文献

    • 来源1:MathWorld对逆迭代法的数学定义 Wolfram MathWorld
    • 来源2:MIT线性代数课程讲义 MIT OpenCourseWare
    • 来源3:数值分析经典教材《Matrix Computations》第四版,Gene H. Golub著
    • 来源4:IEEE计算科学期刊论文《Shift-invert Iterative Methods for Eigenvalue Problems》

网络扩展解释

逆迭代算法(Inverse Iteration)是数值线性代数中用于计算矩阵特征值和对应特征向量的一种迭代方法,尤其适用于已知特征值近似值后精确求解对应特征向量的场景。以下是其核心要点:


一、基本原理

  1. 核心思想
    通过迭代公式 ( x_{k+1} = (A - sigma I)^{-1} x_k ) 逼近特征向量,其中:

    • ( A ) 是目标矩阵;
    • ( sigma ) 是已知特征值的近似值(称为“移位量”);
    • 每次迭代需解线性方程组 ((A - sigma I)x_{k+1} = x_k),而非显式计算逆矩阵。
  2. 数学解释

    • 当 (sigma) 接近矩阵某特征值 (lambda) 时,( (A - sigma I)^{-1} ) 会放大与 (lambda) 对应的特征向量分量,使迭代快速收敛。

二、算法步骤

  1. 初始化:选择初始向量 ( x_0 )(通常随机生成),设定收敛阈值。
  2. 迭代过程:
    • 解方程 ( (A - sigma I) y = x_k ),得到 ( y );
    • 归一化 ( x_{k+1} = y / | y | );
  3. 收敛判断:当 ( | A x_k - lambda x_k | < epsilon ) 时停止((lambda) 通过Rayleigh商估计)。

三、特点与应用

  1. 优点

    • 对接近 (sigma) 的特征值收敛速度快;
    • 结合移位策略可灵活定位不同特征值。
  2. 缺点

    • 每次迭代需解线性方程组,计算成本较高;
    • 若 (sigma) 与真实特征值偏差较大,收敛可能变慢。
  3. 典型应用

    • 结构力学中振动模态分析;
    • 改进特征值估计的精度(如配合Rayleigh商迭代)。

四、公式示例


五、扩展阅读

若需深入理解,可参考数值线性代数教材(如《Matrix Computations》),或结合具体编程实现(如MATLAB的eigs函数)。

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