模運算英文解釋翻譯、模運算的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 modular arithmetic

分詞翻譯：

模的英語翻譯：

model; module; mould; pattern
【計】 M; MOD; modulo
【化】 mould
【醫】 ***; mol; mole

運算的英語翻譯：

operation
【計】 O; OP; operation

專業解析

模運算（Modular Arithmetic）是數論中的核心概念，在計算機科學、密碼學等領域有廣泛應用。其漢英對應術語為"模運算"（中文）與"modular arithmetic"（英文），指以模數（modulus）為基準的整數循環系統。當兩個整數除以相同模數得到相同餘數時，稱這兩個數"同餘"（congruent modulo）。

數學表達式可表示為： $$ a equiv b pmod{m} $$ 其中$m>0$為模數，$a$和$b$為整數，表示$a$與$b$在模$m$下有相同的餘數。例如$17 equiv 5 pmod{12}$，因為17和5除以12的餘數均為5。

核心特性包括：

同餘關系具有自反性、對稱性和傳遞性
模運算滿足加法與乘法的結合律、交換律
中國剩餘定理建立了多模數系統的關聯關系
離散對數問題構成現代密碼學基礎

在工程實踐中，模運算用于：

校驗碼生成（如ISBN編號）
哈希算法設計
循環隊列數據結構
加密協議（RSA、Diffie-Hellman）
時鐘系統（24小時制即模24運算）

權威數學文獻将模運算定義為整數環的商環構造，該理論體系可參考《離散數學及其應用》第8章。國際标準化組織在ISO/IEC 18033-2标準中規範了其在密碼學中的具體實現方法。

網絡擴展解釋

模運算（Modular Arithmetic）是數學和計算機科學中的基礎概念，通常表示為 ( a mod n ），指計算整數 ( a ) 除以正整數 ( n ) 後的餘數。以下是詳細解釋：

核心定義

基本形式：( a mod n = r )，即 ( a = kn + r )，其中：
- ( a ) 是被除數（可正可負），
- ( n ) 是模數（正整數），
- ( r ) 是餘數，滿足 ( 0 le r < n )。
同餘關系：若 ( a mod n = b mod n )，則稱 ( a ) 和 ( b ) 在模 ( n ) 下同餘，記為 ( a equiv b(text{mod}n) )。例如，( 15 equiv 3(text{mod}12) )，因為兩者除以12的餘數均為3。

關鍵性質

餘數範圍：結果始終在 ( 0 ) 到 ( n-1 ) 之間。
運算規則：
- 分配律：( (a + b) mod n = [(a mod n) + (b mod n)] mod n )
- 結合律：( (a times b) mod n = [(a mod n) times (b mod n)] mod n )
負數處理：若 ( a ) 為負，餘數仍為非負數。例如，( -7 mod 5 = 3 )，因為 ( -7 = (-2) times 5 + 3 )。

應用場景

計算機科學：
- 哈希表：通過模運算确定數據存儲位置。
- 加密算法：如RSA中的大數模幂運算。
日常計算：
- 時間計算：24小時制轉換為12小時制（如 ( 20 mod 12 = 8 )）。
- 奇偶判斷：( a mod 2 = 0 ) 時為偶數。
數學問題：
- 循環結構：如星期數計算（7天一周）。
- 數論與密碼學：模逆元用于求解線性同餘方程。

與“取餘運算”的區别

餘數符號：數學中餘數始終非負，但某些編程語言（如C/C++）的取餘運算結果符號可能與被除數一緻。例如，( -7 % 5 ) 在Python中為3，而在C中為-2。

示例

( 10 mod 3 = 1 )（因 ( 10 = 3 times 3 + 1 )）
( 25 mod 7 = 4 )（因 ( 25 = 7 times 3 + 4 )）
( -5 mod 4 = 3 )（因 ( -5 = (-2) times 4 + 3 )）

模運算通過簡化複雜運算和構建循環結構，成為算法設計、密碼學等領域的重要工具。