模运算英文解释翻译、模运算的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 modular arithmetic

分词翻译：

模的英语翻译：

model; module; mould; pattern
【计】 M; MOD; modulo
【化】 mould
【医】 ***; mol; mole

运算的英语翻译：

operation
【计】 O; OP; operation

专业解析

模运算（Modular Arithmetic）是数论中的核心概念，在计算机科学、密码学等领域有广泛应用。其汉英对应术语为"模运算"（中文）与"modular arithmetic"（英文），指以模数（modulus）为基准的整数循环系统。当两个整数除以相同模数得到相同余数时，称这两个数"同余"（congruent modulo）。

数学表达式可表示为： $$ a equiv b pmod{m} $$ 其中$m>0$为模数，$a$和$b$为整数，表示$a$与$b$在模$m$下有相同的余数。例如$17 equiv 5 pmod{12}$，因为17和5除以12的余数均为5。

核心特性包括：

同余关系具有自反性、对称性和传递性
模运算满足加法与乘法的结合律、交换律
中国剩余定理建立了多模数系统的关联关系
离散对数问题构成现代密码学基础

在工程实践中，模运算用于：

校验码生成（如ISBN编号）
哈希算法设计
循环队列数据结构
加密协议（RSA、Diffie-Hellman）
时钟系统（24小时制即模24运算）

权威数学文献将模运算定义为整数环的商环构造，该理论体系可参考《离散数学及其应用》第8章。国际标准化组织在ISO/IEC 18033-2标准中规范了其在密码学中的具体实现方法。

网络扩展解释

模运算（Modular Arithmetic）是数学和计算机科学中的基础概念，通常表示为 ( a mod n ），指计算整数 ( a ) 除以正整数 ( n ) 后的余数。以下是详细解释：

核心定义

基本形式：( a mod n = r )，即 ( a = kn + r )，其中：
- ( a ) 是被除数（可正可负），
- ( n ) 是模数（正整数），
- ( r ) 是余数，满足 ( 0 le r < n )。
同余关系：若 ( a mod n = b mod n )，则称 ( a ) 和 ( b ) 在模 ( n ) 下同余，记为 ( a equiv b(text{mod}n) )。例如，( 15 equiv 3(text{mod}12) )，因为两者除以12的余数均为3。

关键性质

余数范围：结果始终在 ( 0 ) 到 ( n-1 ) 之间。
运算规则：
- 分配律：( (a + b) mod n = [(a mod n) + (b mod n)] mod n )
- 结合律：( (a times b) mod n = [(a mod n) times (b mod n)] mod n )
负数处理：若 ( a ) 为负，余数仍为非负数。例如，( -7 mod 5 = 3 )，因为 ( -7 = (-2) times 5 + 3 )。

应用场景

计算机科学：
- 哈希表：通过模运算确定数据存储位置。
- 加密算法：如RSA中的大数模幂运算。
日常计算：
- 时间计算：24小时制转换为12小时制（如 ( 20 mod 12 = 8 )）。
- 奇偶判断：( a mod 2 = 0 ) 时为偶数。
数学问题：
- 循环结构：如星期数计算（7天一周）。
- 数论与密码学：模逆元用于求解线性同余方程。

与“取余运算”的区别

余数符号：数学中余数始终非负，但某些编程语言（如C/C++）的取余运算结果符号可能与被除数一致。例如，( -7 % 5 ) 在Python中为3，而在C中为-2。

示例

( 10 mod 3 = 1 )（因 ( 10 = 3 times 3 + 1 )）
( 25 mod 7 = 4 )（因 ( 25 = 7 times 3 + 4 )）
( -5 mod 4 = 3 )（因 ( -5 = (-2) times 4 + 3 )）

模运算通过简化复杂运算和构建循环结构，成为算法设计、密码学等领域的重要工具。