對偶定理英文解釋翻譯、對偶定理的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 dual theorem; duality theorem

分詞翻譯：

對的英語翻譯：

right; answer; reply; at; check; compare; couple; mutual; opposite; versus; vs
face to face
【計】 P
【化】 dyad
【醫】 Adv.; contra-; corps; ob-; p-; pair; par; para-
【經】 vs

偶的英語翻譯：

by chance; even; idol; image; mate; spouse
【醫】 pair

定理的英語翻譯：

theorem
【化】 theorem
【醫】 theorem

專業解析

對偶定理（Duality Theorem）是數學與邏輯學中的核心概念，指在特定系統中存在相互對稱的命題或結構，其真值或性質可通過形式變換相互推導。以下從漢英詞典視角結合學科背景展開解釋：

1.基礎定義與漢英對照

在漢語中“對偶”對應英語“duality”，指成對事物間的對稱關系；“定理”譯為“theorem”，即經嚴格證明的數學命題。對偶定理（Duality Theorem）描述兩個看似不同的數學陳述或系統間存在一一對應性，例如布爾代數中的對偶原理：若将邏輯表達式中的“與（AND）”替換為“或（OR）”，并交換“0”與“1”，原命題仍成立。

2.數學領域的典型表現

線上性規劃中，對偶定理表明原問題（Primal Problem）與其對偶問題（Dual Problem）的目标函數最優值相等，這一結論由John von Neumann于1947年提出，現收錄于多部運籌學教材如《Linear Programming and Extensions》。其公式可表示為： $$ begin{aligned} text{原問題：} & quad max mathbf{c}^Tmathbf{x} text{對偶問題：} & quad min mathbf{b}^Tmathbf{y} end{aligned} $$

3.邏輯學與計算機科學應用

在數字電路設計中，對偶定理簡化了邏輯門電路的優化過程。例如，德摩根定律（De Morgan's Laws）作為對偶性的特例，證明$ eg (A land B) equiv eg A lor eg B$，該定律被廣泛引用于《計算機程式設計藝術》（Donald Knuth著）等權威著作。

4.跨學科意義與參考文獻

對偶定理在拓撲學（龐加萊對偶）、物理學（電磁場對偶性）等領域均有延伸應用。經典參考文獻包括：

《數學原理》（Principia Mathematica）對邏輯對偶的形式化證明；
《Convex Optimization》（Boyd與Vandenberghe著）中凸優化對偶性的現代闡釋。

網絡擴展解釋

對偶定理是數學、邏輯學和計算機科學中的重要概念，其核心思想是通過對稱變換保持系統性質的等價性。以下是不同領域的解釋：

1.布爾代數與邏輯電路

在布爾代數中，對偶定理指出：若将邏輯表達式中的運算符（AND ↔ OR）互換，同時将常量（1 ↔ 0）互換，所得的新表達式（對偶式）與原表達式邏輯等價。例如：

原式：( A + (B cdot C) = (A + B) cdot (A + C) )
對偶式：( A cdot (B + C) = (A cdot B) + (A cdot C) )

這一性質在電路設計中用于簡化邏輯門結構，例如将AND門與OR門互換設計等效電路。

2.線性規劃中的對偶性

線上性規劃中，對偶定理表明：原始優化問題與其對偶問題的最優解目标函數值相等。例如：

原始問題：最大化利潤 ( max c^T x )，約束為 ( Ax leq b )
對偶問題：最小化成本 ( min b^T y )，約束為 ( A^T y geq c )

通過求解對偶問題，可快速獲得原始問題的資源影子價格或可行性邊界。

3.幾何與拓撲學

在射影幾何中，對偶定理體現為點與直線的角色互換。例如，平面上“兩點确定一條直線”的對偶命題是“兩直線交于一點”。這種對稱性簡化了定理的證明過程。

4.範疇論的一般化

對偶性在範疇論中升華為普遍原理：若某命題在範疇中成立，則其對偶命題（通過反轉所有箭頭方向）在其對偶範疇中也成立。例如單态射與滿态射的對偶關系。

意義：對偶定理通過揭示系統的内在對稱性，為問題解決提供了雙重視角，常能減少計算複雜度或啟發新的研究方向。