密度函數英文解釋翻譯、密度函數的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 density function
【化】 density function; frequency function
【經】 density function

分詞翻譯：

密的英語翻譯：

close; dense; intimate; meticulous; secret; thick

度的英語翻譯：

consideration; tolerance; degree; limit; linear measure; surmise; estimate
extent
【計】 degrees; k.w.h.
【化】 dimension; kilowatt hour
【醫】 Deg.; degree
【經】 degree

函數的英語翻譯：

function
【計】 F; FUNC; function

專業解析

密度函數（Density Function）是概率論和統計學中的核心概念，用于描述連續型隨機變量的概率分布特性。在漢語中，“密度”意指“密集程度”，而“函數”表示一種數學關系，因此“密度函數”形象地描述了隨機變量取值在數軸上各點處的“概率密集程度”。

核心定義

概率密度函數（Probability Density Function, PDF）
設 ( X ) 是一個連續型隨機變量，其概率密度函數 ( f(x) ) 需滿足以下條件：
- 非負性：對所有實數 ( x )，有 ( f(x) geq 0 )；
- 歸一性：概率密度函數在全空間的積分等于 1，即：
  $$ int{-infty}^{infty} f(x)dx = 1 $$
  
  隨機變量 ( X ) 落在區間 ([a, b]) 内的概率由密度函數在該區間的積分給出：
  
  $$ P(a leq X leq b) = int{a}^{b} f(x)dx $$
  
  來源：高等教育出版社《概率論與數理統計》（第5版）
物理意義類比
密度函數類似于物理學中的“質量密度”。例如，一根不均勻細棒的質量密度函數 ( rho(x) ) 描述單位長度上的質量分布，其總質量滿足 ( int rho(x) dx = M )。概率密度函數則描述單位長度上的“概率質量”，總概率為 1 。

關鍵特性

單點概率為零：對連續型隨機變量，取任一特定值的概率為零（( P(X=c)=0 )），概率隻能通過區間積分計算。
與分布函數關系：累積分布函數（CDF）( F(x) = P(X leq x) ) 是密度函數的積分：
$$ F(x) = int_{-infty}^{x} f(t)dt $$

反之，密度函數是分布函數的導數：( f(x) = frac{d}{dx} F(x) )（在 ( F(x) ) 可導點）。

常見類型與應用

正态分布密度函數：
$$ f(x) = frac{1}{sqrt{2pi}sigma} e^{-frac{(x-mu)}{2sigma}} $$

描述自然現象（如測量誤差）的分布，參數 ( mu )（均值）和 ( sigma )（标準差）決定形态。

指數分布密度函數：
$$ f(x) = lambda e^{-lambda x} quad (x geq 0) $$

用于建模無記憶性事件（如設備壽命、電話呼叫間隔）。

與其他函數的區别

概率質量函數（PMF）：適用于離散型隨機變量，直接給出各離散點的概率值（如抛硬币的 ( P(X=0)=0.5 )）。
密度函數（PDF）：僅適用于連續型變量，通過積分計算概率，其函數值本身不是概率（可大于 1）。

參考文獻

盛驟, 謝式千, 《概率論與數理統計》（第5版）, 高等教育出版社.
Ross, S. M., Introduction to Probability Models (12th ed.), Academic Press.
Hogg, R. V., Introduction to Mathematical Statistics (8th ed.), Pearson.

網絡擴展解釋

密度函數（Density Function）是概率論與統計學中的核心概念，主要用于描述連續型隨機變量的概率分布特性。以下是詳細解釋：

1. 基本定義

密度函數（通常指概率密度函數，Probability Density Function, PDF）是一個非負函數，滿足： $$ f(x) geq 0 quad text{且} quad int{-infty}^{+infty} f(x) , dx = 1 $$ 它通過積分形式表示隨機變量在某一區間内的概率： $$ P(a leq X leq b) = int{a}^{b} f(x) , dx $$

2. 核心特性

非負性：密度函數值始終非負。
歸一性：全區間積分為1，代表所有可能事件的概率總和為1。
單點概率為零：對連續型變量，單點概率 ( P(X = x) = 0 )，概率隻能通過區間積分計算。

3. 與分布函數的關系

密度函數是累積分布函數（CDF）的導數： $$ F(x) = P(X leq x) = int_{-infty}^{x} f(t) , dt quad Rightarrow quad f(x) = frac{d}{dx} F(x) $$

4. 常見示例

正态分布：( f(x) = frac{1}{sigma sqrt{2pi}} e^{-frac{(x-mu)}{2sigma}} )，描述自然現象中的對稱分布。
均勻分布：( f(x) = frac{1}{b-a} )（當 ( a leq x leq b )），表示區間内概率均等。

5. 應用場景

概率計算：通過積分求區間概率。
統計推斷：參數估計（如極大似然估計）、假設檢驗。
數據建模：描述物理、經濟等領域中連續變量的分布規律。

注意

密度函數與離散型變量的概率質量函數（PMF）不同，後者直接給出單點概率。
若問題涉及其他領域（如物理中的質量密度），需結合具體上下文理解。