密度函数英文解释翻译、密度函数的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 density function
【化】 density function; frequency function
【经】 density function

分词翻译：

密的英语翻译：

close; dense; intimate; meticulous; secret; thick

度的英语翻译：

consideration; tolerance; degree; limit; linear measure; surmise; estimate
extent
【计】 degrees; k.w.h.
【化】 dimension; kilowatt hour
【医】 Deg.; degree
【经】 degree

函数的英语翻译：

function
【计】 F; FUNC; function

专业解析

密度函数（Density Function）是概率论和统计学中的核心概念，用于描述连续型随机变量的概率分布特性。在汉语中，“密度”意指“密集程度”，而“函数”表示一种数学关系，因此“密度函数”形象地描述了随机变量取值在数轴上各点处的“概率密集程度”。

核心定义

概率密度函数（Probability Density Function, PDF）
设 ( X ) 是一个连续型随机变量，其概率密度函数 ( f(x) ) 需满足以下条件：
- 非负性：对所有实数 ( x )，有 ( f(x) geq 0 )；
- 归一性：概率密度函数在全空间的积分等于 1，即：
  $$ int{-infty}^{infty} f(x)dx = 1 $$
  
  随机变量 ( X ) 落在区间 ([a, b]) 内的概率由密度函数在该区间的积分给出：
  
  $$ P(a leq X leq b) = int{a}^{b} f(x)dx $$
  
  来源：高等教育出版社《概率论与数理统计》（第5版）
物理意义类比
密度函数类似于物理学中的“质量密度”。例如，一根不均匀细棒的质量密度函数 ( rho(x) ) 描述单位长度上的质量分布，其总质量满足 ( int rho(x) dx = M )。概率密度函数则描述单位长度上的“概率质量”，总概率为 1 。

关键特性

单点概率为零：对连续型随机变量，取任一特定值的概率为零（( P(X=c)=0 )），概率只能通过区间积分计算。
与分布函数关系：累积分布函数（CDF）( F(x) = P(X leq x) ) 是密度函数的积分：
$$ F(x) = int_{-infty}^{x} f(t)dt $$

反之，密度函数是分布函数的导数：( f(x) = frac{d}{dx} F(x) )（在 ( F(x) ) 可导点）。

常见类型与应用

正态分布密度函数：
$$ f(x) = frac{1}{sqrt{2pi}sigma} e^{-frac{(x-mu)}{2sigma}} $$

描述自然现象（如测量误差）的分布，参数 ( mu )（均值）和 ( sigma )（标准差）决定形态。

指数分布密度函数：
$$ f(x) = lambda e^{-lambda x} quad (x geq 0) $$

用于建模无记忆性事件（如设备寿命、电话呼叫间隔）。

与其他函数的区别

概率质量函数（PMF）：适用于离散型随机变量，直接给出各离散点的概率值（如抛硬币的 ( P(X=0)=0.5 )）。
密度函数（PDF）：仅适用于连续型变量，通过积分计算概率，其函数值本身不是概率（可大于 1）。

参考文献

盛骤, 谢式千, 《概率论与数理统计》（第5版）, 高等教育出版社.
Ross, S. M., Introduction to Probability Models (12th ed.), Academic Press.
Hogg, R. V., Introduction to Mathematical Statistics (8th ed.), Pearson.

网络扩展解释

密度函数（Density Function）是概率论与统计学中的核心概念，主要用于描述连续型随机变量的概率分布特性。以下是详细解释：

1. 基本定义

密度函数（通常指概率密度函数，Probability Density Function, PDF）是一个非负函数，满足： $$ f(x) geq 0 quad text{且} quad int{-infty}^{+infty} f(x) , dx = 1 $$ 它通过积分形式表示随机变量在某一区间内的概率： $$ P(a leq X leq b) = int{a}^{b} f(x) , dx $$

2. 核心特性

非负性：密度函数值始终非负。
归一性：全区间积分为1，代表所有可能事件的概率总和为1。
单点概率为零：对连续型变量，单点概率 ( P(X = x) = 0 )，概率只能通过区间积分计算。

3. 与分布函数的关系

密度函数是累积分布函数（CDF）的导数： $$ F(x) = P(X leq x) = int_{-infty}^{x} f(t) , dt quad Rightarrow quad f(x) = frac{d}{dx} F(x) $$

4. 常见示例

正态分布：( f(x) = frac{1}{sigma sqrt{2pi}} e^{-frac{(x-mu)}{2sigma}} )，描述自然现象中的对称分布。
均匀分布：( f(x) = frac{1}{b-a} )（当 ( a leq x leq b )），表示区间内概率均等。

5. 应用场景

概率计算：通过积分求区间概率。
统计推断：参数估计（如极大似然估计）、假设检验。
数据建模：描述物理、经济等领域中连续变量的分布规律。

注意

密度函数与离散型变量的概率质量函数（PMF）不同，后者直接给出单点概率。
若问题涉及其他领域（如物理中的质量密度），需结合具体上下文理解。