洛倫茲變換的雙曲形式英文解釋翻譯、洛倫茲變換的雙曲形式的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【化】 hyperbolic form of Lorentz transformation

分詞翻譯：

洛倫茲變換的英語翻譯：

【化】 Lorentz transformation

雙的英語翻譯：

both; double; even; twin; two; twofold
【化】 dyad
【醫】 amb-; ambi-; ambo-; bi-; bis-; di-; diplo-; par

曲的英語翻譯：

bend; bent; crooked; melody; music; song; wrong
【化】 distiller's yeast; distillery yeast
【醫】 bend; curvatura; curvature; cyrto-; flexura; flexurae; flexure; leaven

形式的英語翻譯：

form; format; modality; shape
【法】 form

專業解析

洛倫茲變換的雙曲形式（Hyperbolic Form of Lorentz Transformation）是狹義相對論中描述時空坐标在不同慣性參考系之間變換的數學表達，它利用雙曲函數（hyperbolic functions）來簡潔地表示這種變換關系。這種形式突出了相對論性速度疊加的幾何特性，并與“快度”（rapidity）概念緊密相關。

一、核心概念與數學表達

基礎定義：
洛倫茲變換描述了當一個慣性參考系 S' 相對于另一個慣性參考系 S 以恒定速度 v 沿 x 軸方向運動時，兩個參考系中事件時空坐标 (t, x, y, z) 和 (t', x', y', z') 之間的關系。其雙曲形式為： $$ begin{align} ct' &= ct coshphi - x sinhphi x' &= x coshphi - ct sinhphi y' &= y z' &= z end{align} $$ 其中：
- c 是光速，
- φ 是快度（rapidity），定義為 $phi = tanh^{-1}(v/c)$ 或 $phi = tanh^{-1}(beta)$（$beta = v/c$）。
- $coshphi$ 和 $sinhphi$ 是雙曲餘弦和雙曲正弦函數。
快度（Rapidity）的意義：
快度 φ 是一個無量綱量，替代速度 v 作為變換參數。其關鍵特性在于：沿同一方向的連續洛倫茲變換（推動，boosts）對應的快度可以線性相加，即 $phi_{text{total}} = phi_1 + phi2$。這與速度疊加的非線性公式（$v{text{rel}} = (v_1 + v_2)/(1 + v_1v_2/c)$）形成鮮明對比，簡化了計算并揭示了相對論速度疊加的幾何本質。
與速度的關系：
利用雙曲函數的性質，可得： $$ begin{align} coshphi &= gamma = frac{1}{sqrt{1 - beta}} sinhphi &= gammabeta = frac{v/c}{sqrt{1 - beta}} end{align} $$ 其中 γ 是洛倫茲因子。這表明雙曲形式與傳統使用 γ 和 β 的洛倫茲變換公式完全等價。

二、優勢與物理内涵

簡化疊加運算：
雙曲形式的核心優勢在于處理沿同一方向的連續參考系變換時，快度具有可加性（$phi_{text{total}} = phi_1 + phi_2$），這比速度疊加公式更簡潔直觀，體現了相對論性“速度空間”具有雙曲幾何結構（赝歐幾裡得幾何）。
與闵可夫斯基時空的聯繫：
雙曲函數自然地出現在闵可夫斯基時空的幾何中。洛倫茲變換可以視為時空坐标在闵可夫斯基空間中的“雙曲旋轉”（hyperbolic rotation）。快度 φ 就是這個旋轉的“角度”，它表征了參考系之間的“傾斜”程度。
與歐幾裡得旋轉的類比：
雙曲形式的洛倫茲變換（$ct' = ct coshphi - x sinhphi, x' = x coshphi - ct sinhphi$）在數學結構上類似于二維歐幾裡得空間中的旋轉（$x' = x costheta - y sintheta, y' = x sintheta + y costheta$），隻是将三角函數換成了雙曲函數，并将角度換成了快度。這凸顯了時間和空間在相對論中不可分割的統一性。

三、術語漢英對照

洛倫茲變換 - Lorentz Transformation
雙曲形式 - Hyperbolic Form
雙曲函數 - Hyperbolic Functions (cosh, sinh, tanh)
快度 - Rapidity (φ)
速度 - Velocity (v)
光速 - Speed of Light (c)
洛倫茲因子 - Lorentz Factor (γ)
慣性參考系 - Inertial Reference Frame
推動/洛倫茲推動 - Boost / Lorentz Boost
闵可夫斯基時空 - Minkowski Spacetime
雙曲旋轉 - Hyperbolic Rotation
赝歐幾裡得幾何 - Pseudo-Euclidean Geometry

權威參考來源：

APS Physics - "Rapidity in Special Relativity" (美國物理學會期刊文章)
https://journals.aps.org/prstper/abstract/10.1103/PhysRevSTPER.8.010131 (需驗證訪問權限或DOI鍊接有效性)

Wikipedia - "Lorentz Transformation" (維基百科詞條 - 數學推導章節)
https://en.wikipedia.org/wiki/Lorentz_transformation#Hyperbolic_form

MathWorld - "Lorentz Transformation" (數學專業資源)
https://mathworld.wolfram.com/LorentzTransformation.html

網絡擴展解釋

洛倫茲變換的雙曲形式是狹義相對論中描述時空坐标變換的一種數學表達方式，其核心是用雙曲函數（如雙曲餘弦$coshtheta$和雙曲正弦$sinhtheta$）替代傳統表達式中的速度參數。這種形式通過引入快度（rapidity）參數$theta$，使變換的數學結構更簡潔且更貼近幾何意義。

1.數學表達式

在雙曲形式下，洛倫茲變換可表示為： $$ begin{cases} ct' = ct coshtheta - x sinhtheta x' = -ct sinhtheta + x coshtheta end{cases} $$ 其中：

$ct$和$x$是原參考系的時空坐标，$ct'$和$x'$是變換後的坐标；
$theta$為快度參數，與速度$v$的關系為$tanhtheta = v/c$（$c$為光速）。

2.物理意義

快度$theta$的作用：快度是一個無量綱量，其取值範圍為$-infty < theta < +infty$，對應速度$v$從$-c$到$+c$的變化。它與速度的關系滿足$theta = tanh^{-1}(v/c)$。
幾何類比：雙曲形式的洛倫茲變換類似于歐幾裡得空間中的旋轉，但用雙曲函數代替三角函數，反映了時空的闵可夫斯基幾何特性。

3.優勢

簡化速度疊加：快度的可加性使得速度疊加公式更簡潔，即$theta_{text{總}} = theta_1 + theta_2$，而傳統速度疊加需用$(v_1 + v_2)/(1 + v_1v_2/c)$。
保持間隔不變性：雙曲形式直接滿足時空間隔$s = (ct) - x$的不變性，因為$coshtheta - sinhtheta = 1$。

4.與傳統形式的等價性

将$coshtheta = gamma = 1/sqrt{1 - v/c}$和$sinhtheta = gamma v/c$代入雙曲形式，即可還原為經典洛倫茲變換： $$ begin{cases} ct' = gamma(ct - vx/c) x' = gamma(x - vt) end{cases} $$

雙曲形式通過快度參數和雙曲函數，揭示了洛倫茲變換的幾何本質，并在處理相對論速度疊加等問題時更具優勢。這一表達方式在理論物理和高能物理的推導中廣泛應用。