洛伦兹变换的双曲形式英文解释翻译、洛伦兹变换的双曲形式的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【化】 hyperbolic form of Lorentz transformation

分词翻译：

洛伦兹变换的英语翻译：

【化】 Lorentz transformation

双的英语翻译：

both; double; even; twin; two; twofold
【化】 dyad
【医】 amb-; ambi-; ambo-; bi-; bis-; di-; diplo-; par

曲的英语翻译：

bend; bent; crooked; melody; music; song; wrong
【化】 distiller's yeast; distillery yeast
【医】 bend; curvatura; curvature; cyrto-; flexura; flexurae; flexure; leaven

形式的英语翻译：

form; format; modality; shape
【法】 form

专业解析

洛伦兹变换的双曲形式（Hyperbolic Form of Lorentz Transformation）是狭义相对论中描述时空坐标在不同惯性参考系之间变换的数学表达，它利用双曲函数（hyperbolic functions）来简洁地表示这种变换关系。这种形式突出了相对论性速度叠加的几何特性，并与“快度”（rapidity）概念紧密相关。

一、核心概念与数学表达

基础定义：
洛伦兹变换描述了当一个惯性参考系 S' 相对于另一个惯性参考系 S 以恒定速度 v 沿 x 轴方向运动时，两个参考系中事件时空坐标 (t, x, y, z) 和 (t', x', y', z') 之间的关系。其双曲形式为： $$ begin{align} ct' &= ct coshphi - x sinhphi x' &= x coshphi - ct sinhphi y' &= y z' &= z end{align} $$ 其中：
- c 是光速，
- φ 是快度（rapidity），定义为 $phi = tanh^{-1}(v/c)$ 或 $phi = tanh^{-1}(beta)$（$beta = v/c$）。
- $coshphi$ 和 $sinhphi$ 是双曲余弦和双曲正弦函数。
快度（Rapidity）的意义：
快度 φ 是一个无量纲量，替代速度 v 作为变换参数。其关键特性在于：沿同一方向的连续洛伦兹变换（推动，boosts）对应的快度可以线性相加，即 $phi_{text{total}} = phi_1 + phi2$。这与速度叠加的非线性公式（$v{text{rel}} = (v_1 + v_2)/(1 + v_1v_2/c)$）形成鲜明对比，简化了计算并揭示了相对论速度叠加的几何本质。
与速度的关系：
利用双曲函数的性质，可得： $$ begin{align} coshphi &= gamma = frac{1}{sqrt{1 - beta}} sinhphi &= gammabeta = frac{v/c}{sqrt{1 - beta}} end{align} $$ 其中 γ 是洛伦兹因子。这表明双曲形式与传统使用 γ 和 β 的洛伦兹变换公式完全等价。

二、优势与物理内涵

简化叠加运算：
双曲形式的核心优势在于处理沿同一方向的连续参考系变换时，快度具有可加性（$phi_{text{total}} = phi_1 + phi_2$），这比速度叠加公式更简洁直观，体现了相对论性“速度空间”具有双曲几何结构（赝欧几里得几何）。
与闵可夫斯基时空的联系：
双曲函数自然地出现在闵可夫斯基时空的几何中。洛伦兹变换可以视为时空坐标在闵可夫斯基空间中的“双曲旋转”（hyperbolic rotation）。快度 φ 就是这个旋转的“角度”，它表征了参考系之间的“倾斜”程度。
与欧几里得旋转的类比：
双曲形式的洛伦兹变换（$ct' = ct coshphi - x sinhphi, x' = x coshphi - ct sinhphi$）在数学结构上类似于二维欧几里得空间中的旋转（$x' = x costheta - y sintheta, y' = x sintheta + y costheta$），只是将三角函数换成了双曲函数，并将角度换成了快度。这凸显了时间和空间在相对论中不可分割的统一性。

三、术语汉英对照

洛伦兹变换 - Lorentz Transformation
双曲形式 - Hyperbolic Form
双曲函数 - Hyperbolic Functions (cosh, sinh, tanh)
快度 - Rapidity (φ)
速度 - Velocity (v)
光速 - Speed of Light (c)
洛伦兹因子 - Lorentz Factor (γ)
惯性参考系 - Inertial Reference Frame
推动/洛伦兹推动 - Boost / Lorentz Boost
闵可夫斯基时空 - Minkowski Spacetime
双曲旋转 - Hyperbolic Rotation
赝欧几里得几何 - Pseudo-Euclidean Geometry

权威参考来源：

APS Physics - "Rapidity in Special Relativity" (美国物理学会期刊文章)
https://journals.aps.org/prstper/abstract/10.1103/PhysRevSTPER.8.010131 (需验证访问权限或DOI链接有效性)

Wikipedia - "Lorentz Transformation" (维基百科词条 - 数学推导章节)
https://en.wikipedia.org/wiki/Lorentz_transformation#Hyperbolic_form

MathWorld - "Lorentz Transformation" (数学专业资源)
https://mathworld.wolfram.com/LorentzTransformation.html

网络扩展解释

洛伦兹变换的双曲形式是狭义相对论中描述时空坐标变换的一种数学表达方式，其核心是用双曲函数（如双曲余弦$coshtheta$和双曲正弦$sinhtheta$）替代传统表达式中的速度参数。这种形式通过引入快度（rapidity）参数$theta$，使变换的数学结构更简洁且更贴近几何意义。

1.数学表达式

在双曲形式下，洛伦兹变换可表示为： $$ begin{cases} ct' = ct coshtheta - x sinhtheta x' = -ct sinhtheta + x coshtheta end{cases} $$ 其中：

$ct$和$x$是原参考系的时空坐标，$ct'$和$x'$是变换后的坐标；
$theta$为快度参数，与速度$v$的关系为$tanhtheta = v/c$（$c$为光速）。

2.物理意义

快度$theta$的作用：快度是一个无量纲量，其取值范围为$-infty < theta < +infty$，对应速度$v$从$-c$到$+c$的变化。它与速度的关系满足$theta = tanh^{-1}(v/c)$。
几何类比：双曲形式的洛伦兹变换类似于欧几里得空间中的旋转，但用双曲函数代替三角函数，反映了时空的闵可夫斯基几何特性。

3.优势

简化速度叠加：快度的可加性使得速度叠加公式更简洁，即$theta_{text{总}} = theta_1 + theta_2$，而传统速度叠加需用$(v_1 + v_2)/(1 + v_1v_2/c)$。
保持间隔不变性：双曲形式直接满足时空间隔$s = (ct) - x$的不变性，因为$coshtheta - sinhtheta = 1$。

4.与传统形式的等价性

将$coshtheta = gamma = 1/sqrt{1 - v/c}$和$sinhtheta = gamma v/c$代入双曲形式，即可还原为经典洛伦兹变换： $$ begin{cases} ct' = gamma(ct - vx/c) x' = gamma(x - vt) end{cases} $$

双曲形式通过快度参数和双曲函数，揭示了洛伦兹变换的几何本质，并在处理相对论速度叠加等问题时更具优势。这一表达方式在理论物理和高能物理的推导中广泛应用。