解析函數英文解釋翻譯、解析函數的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【機】 analytic function

parse; resolution; resolve
【化】 analysis
【醫】 resolution; resolve

function
【計】 F; FUNC; function

在數學分析中，解析函數（英文：Analytic Function）指在定義域内每一點均可展開為收斂幂級數的複變函數或實變函數。其核心特征在于函數的局部行為完全由其在某點的各階導數決定，且具有無限可微性。以下是關鍵解析要點：

核心定義與複變背景解析函數最嚴格且常用的定義源于複分析領域：若複變函數 (f(z)) 在區域 (D) 内處處複可微（即滿足柯西-黎曼方程），則稱其在 (D) 上解析（或全純）。此時，(f(z)) 在 (D) 内任意點 (z0) 的鄰域可展開為收斂的泰勒級數： $$ f(z) = sum{n=0}^{infty} frac{f^{(n)}(z_0)}{n!} (z - z_0)^n $$ 此性質是解析性的等價刻畫。
實變函數情形對實變函數 (f(x))，若其在點 (x0) 的某鄰域内可展開為收斂的幂級數 (sum{n=0}^{infty} a_n (x - x_0)^n)，則稱其在 (x_0) 處解析。若在整個定義域上每點解析，則稱其為實解析函數。實解析性要求遠強于無限可微性（存在無限可微但非解析的函數，如 (e^{-1/x}) 在零點）。
關鍵性質
- 唯一性定理：若兩解析函數在含極限點的區域上取值相同，則它們處處相等。
- 最大模原理：解析函數的模在區域内部不能取得極大值（除非為常數）。
- 保角性（複解析）：在導數非零點處保持角度與定向。
- 積分路徑無關性（複解析）：沿閉曲線的積分為零（柯西積分定理）。
應用領域解析函數是複分析的核心對象，在理論物理（流體力學、電磁學）、工程學（信號處理）、數論及特殊函數理論中應用廣泛。其光滑性及級數展開特性為近似計算與解析延拓提供了基礎。

權威參考來源：

解析函數（Analytic Function），又稱全純函數（Holomorphic Function），是複變函數理論中的核心概念，指在複平面上某個區域（開集）内處處可微的複函數。其核心特點在于局部可展開為收斂的幂級數，并滿足嚴格的微分條件。以下是詳細解釋：

數學定義：若複函數 ( f(z) ) 在複平面上的區域 ( D ) 内每一點都可導，則稱 ( f(z) ) 在 ( D ) 内解析。
柯西-黎曼方程（Cauchy-Riemann Equations）：設 ( f(z) = u(x,y) + iv(x,y) )，其中 ( z = x + iy )，則解析的必要條件是實部 ( u ) 和虛部 ( v ) 滿足： $$ frac{partial u}{partial x} = frac{partial v}{partial y}, quad frac{partial u}{partial y} = -frac{partial v}{partial x}. $$ 若偏導數連續且滿足上述方程，則函數解析。

幂級數展開性：在解析點附近，解析函數可表示為收斂的泰勒級數。例如，指數函數 ( e^z = sum_{n=0}^infty frac{z^n}{n!} ) 在整個複平面解析。
唯一性定理：若兩個解析函數在區域 ( D ) 内的某個無窮點列上相等，則它們在 ( D ) 内完全一緻。
積分定理：解析函數沿閉合路徑的積分為零（柯西積分定理），且可通過路徑内的函數值計算積分（柯西積分公式）。

解析函數的嚴格性質使其在複分析中占據核心地位，其理論與實變函數的微積分有本質區别（如實函數可導不一定解析）。通過柯西-黎曼方程和幂級數展開，解析函數将複數的對稱性與微積分緊密結合，成為解決複雜數學和工程問題的關鍵工具。