解析函数英文解释翻译、解析函数的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【机】 analytic function

parse; resolution; resolve
【化】 analysis
【医】 resolution; resolve

function
【计】 F; FUNC; function

在数学分析中，解析函数（英文：Analytic Function）指在定义域内每一点均可展开为收敛幂级数的复变函数或实变函数。其核心特征在于函数的局部行为完全由其在某点的各阶导数决定，且具有无限可微性。以下是关键解析要点：

核心定义与复变背景解析函数最严格且常用的定义源于复分析领域：若复变函数 (f(z)) 在区域 (D) 内处处复可微（即满足柯西-黎曼方程），则称其在 (D) 上解析（或全纯）。此时，(f(z)) 在 (D) 内任意点 (z0) 的邻域可展开为收敛的泰勒级数： $$ f(z) = sum{n=0}^{infty} frac{f^{(n)}(z_0)}{n!} (z - z_0)^n $$ 此性质是解析性的等价刻画。
实变函数情形对实变函数 (f(x))，若其在点 (x0) 的某邻域内可展开为收敛的幂级数 (sum{n=0}^{infty} a_n (x - x_0)^n)，则称其在 (x_0) 处解析。若在整个定义域上每点解析，则称其为实解析函数。实解析性要求远强于无限可微性（存在无限可微但非解析的函数，如 (e^{-1/x}) 在零点）。
关键性质
- 唯一性定理：若两解析函数在含极限点的区域上取值相同，则它们处处相等。
- 最大模原理：解析函数的模在区域内部不能取得极大值（除非为常数）。
- 保角性（复解析）：在导数非零点处保持角度与定向。
- 积分路径无关性（复解析）：沿闭曲线的积分为零（柯西积分定理）。
应用领域解析函数是复分析的核心对象，在理论物理（流体力学、电磁学）、工程学（信号处理）、数论及特殊函数理论中应用广泛。其光滑性及级数展开特性为近似计算与解析延拓提供了基础。

权威参考来源：

解析函数（Analytic Function），又称全纯函数（Holomorphic Function），是复变函数理论中的核心概念，指在复平面上某个区域（开集）内处处可微的复函数。其核心特点在于局部可展开为收敛的幂级数，并满足严格的微分条件。以下是详细解释：

数学定义：若复函数 ( f(z) ) 在复平面上的区域 ( D ) 内每一点都可导，则称 ( f(z) ) 在 ( D ) 内解析。
柯西-黎曼方程（Cauchy-Riemann Equations）：设 ( f(z) = u(x,y) + iv(x,y) )，其中 ( z = x + iy )，则解析的必要条件是实部 ( u ) 和虚部 ( v ) 满足： $$ frac{partial u}{partial x} = frac{partial v}{partial y}, quad frac{partial u}{partial y} = -frac{partial v}{partial x}. $$ 若偏导数连续且满足上述方程，则函数解析。

幂级数展开性：在解析点附近，解析函数可表示为收敛的泰勒级数。例如，指数函数 ( e^z = sum_{n=0}^infty frac{z^n}{n!} ) 在整个复平面解析。
唯一性定理：若两个解析函数在区域 ( D ) 内的某个无穷点列上相等，则它们在 ( D ) 内完全一致。
积分定理：解析函数沿闭合路径的积分为零（柯西积分定理），且可通过路径内的函数值计算积分（柯西积分公式）。

解析函数的严格性质使其在复分析中占据核心地位，其理论与实变函数的微积分有本质区别（如实函数可导不一定解析）。通过柯西-黎曼方程和幂级数展开，解析函数将复数的对称性与微积分紧密结合，成为解决复杂数学和工程问题的关键工具。